Metode Karakteristik

Tentang unit ini. Unit kumulatif ini menambahkan bagian Persamaan Diferensial Parsial Orde Pertama Kuasilinear dari Bab 1 pada terjemahan Prakata yang telah diverifikasi. Urutan, rumus, bukti, contoh, dan gambar sumber dipertahankan pada batas sumber yang dipin.

Persamaan Diferensial Parsial Orde Pertama Kuasilinear

Tinjau persamaan diferensial parsial

$a(x,y,u)\,\frac{\partial{u}}{\partial x} + b(x,y,u)\,\frac{\partial{u}}{\partial y} = c(x,y,u) \ ,$ dengan $\displaystyle a,b,c:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}$ merupakan tiga fungsi kelas $C^1$ yang diberikan, sedangkan $\displaystyle u:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ merupakan fungsi terdiferensialkan yang belum diketahui.

Persamaan yang berbentuk Persamaan (1.1) disebut persamaan diferensial parsial kuasilinear . Jika $a$ dan $b$ tidak bergantung pada $u$ , dan $c(x,y,u) = p(x,y) u + q(x,y)$ untuk fungsi-fungsi terdiferensialkan $\displaystyle p:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ dan $\displaystyle q:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ , maka persamaan diferensial parsial tersebut disebut linear.

Tujuannya adalah mencari solusi terdiferensialkan, yang juga disebut permukaan, $u=u(x,y)$ yang memenuhi Persamaan (1.1) dan memuat suatu kurva $\Gamma$ yang diberikan oleh $\Gamma = \left\{ (x,y,u) = \left(x_0(s), y_0(s),u_0(s)\right) : s\in I \right\}$ untuk fungsi-fungsi terdiferensialkan $x_0$ , $y_0$ , dan $u_0$ yang didefinisikan pada suatu interval terbuka $I$ . Masalah yang solusinya (jika ada) bagi persamaan diferensial parsial tersebut harus memuat suatu kurva yang diberikan disebut masalah Cauchy .

Definisi. Suatu permukaan $u=u(x,y)$ yang memenuhi Persamaan (1.1) dan memuat kurva $\Gamma$ yang diberikan disebut permukaan integral bagi Persamaan (1.1).

Kita dapat menulis ulang Persamaan (1.1) sebagai $\displaystyle(a,b,c) \cdot \left(\frac{\partial{u}}{\partial x}, \frac{\partial{u}}{\partial y}, -1 \right) = 0$ . Vektor $\displaystyle\left(\frac{\partial{u}}{\partial x}, \frac{\partial{u}}{\partial y}, -1 \right)$ yang dievaluasi di $(x,y)$ tegak lurus terhadap permukaan $u=u(x,y)$ di $\displaystyle\left(x,y,u(x,y)\right)$ . Oleh karena itu, vektor $(a,b,c)$ yang dievaluasi di $(x,y,u(x,y))$ terletak pada bidang singgung permukaan integral $u=u(x,y)$ di titik $\displaystyle\left(x,y,u(x,y)\right)$ .

Jika $\displaystyle\gamma = \left\{ (x(t),y(t),u(t)) : t \in J \right\}$ merupakan kurva pada permukaan integral $u=u(x,y)$ , maka $\left(x'(t),y'(t),u'(t)\right)$ terletak pada bidang singgung (lebih tepatnya, sejajar dengan bidang singgung) terhadap permukaan integral di titik $\left(x(t),y(t),u(t)\right)$ , dengan $J$ suatu interval tempat kurva tersebut terdefinisi.

Dari pembahasan sebelumnya, kita perlu meninjau keluarga kurva berikut. Untuk setiap nilai tetap $s \in I$ , misalkan $\gamma_s$ adalah kurva yang didefinisikan oleh $\gamma_s = \left\{ (x,y,u) = \left(x(t,s), y(t,s), u(t,s) \right) : t \in J_s \right\} \ ,$ dengan $J_s$ interval maksimal yang memuat $0$ tempat solusi berikut terdefinisi,

$\begin{split} \frac{\partial{x}}{\partial t}(t,s) &= a(x(t,s),y(t,s),u(t,s)) \\ \frac{\partial{y}}{\partial t}(t,s) &= b(x(t,s),y(t,s),u(t,s)) \\ \frac{\partial{u}}{\partial t}(t,s) &= c(x(t,s),y(t,s),u(t,s)) \end{split}$ dan

$\left(x(0,s), y(0,s), u(0,s)\right) = \left(x_0(s), y_0(s), u_0(s)\right) \ .$ Untuk $s$ tetap, Persamaan (1.2) merupakan sistem persamaan diferensial biasa yang bergantung pada parameter $s$ dan memenuhi syarat awal Persamaan (1.3). Oleh karena itu, dalam literatur, turunan parsial sering digantikan dengan turunan $\displaystyle\frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{t}}$ , $\displaystyle\frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{t}}$ , dan $\displaystyle\frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{t}}$ .

Definisi. Persamaan-persamaan dalam Persamaan (1.2) disebut persamaan karakteristik dan, untuk setiap $s$ , kurva $\gamma_s$ disebut kurva karakteristik .

Dengan demikian, kita memperoleh suatu keluarga kurva $\displaystyle\left\{ \gamma_s \right\}_{s\in I}$ . Jika kita mengasumsikan bahwa

$\frac{\partial(x,y)}{\partial(t,s)}\bigg|_{(t,s)} = \det \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial{x}}{\partial t} & \displaystyle\frac{\partial{x}}{\partial s} \\[0.7em] \displaystyle\frac{\partial{y}}{\partial t} & \displaystyle\frac{\partial{y}}{\partial s} \end{pmatrix}\bigg|_{(t,s)} \neq 0 \ ,$ maka, menurut Teorema Pemetaan Invers, $s$ dan $t$ dapat dinyatakan (secara lokal) sebagai fungsi dari $x$ dan $y$ . Dengan mensubstitusikan ungkapan $s$ dan $t$ dalam $x$ dan $y$ tersebut ke $u=u(t,s)$ , diperoleh persamaan suatu permukaan $u=u(x,y)$ (Gambar 1).

Untuk menyederhanakan notasi, kita menggunakan $u$ untuk menyatakan fungsi dari $t$ dan $s$ maupun fungsi dari $x$ dan $y$ . Konteks akan menentukan fungsi yang dimaksud. Kita mempunyai $u(x,y) = u(t,s)$ dengan $x=x(t,s)$ dan $y=y(t,s)$ .

Representasi skematis kurva-kurva karakteristik dan permukaan integral.

Teorema. Misalkan $\Gamma$ adalah kurva yang didefinisikan oleh $\Gamma = \left\{ (x,y,u) = \left(x_0(s), y_0(s),u_0(s)\right) : s \in I \right\} \ ,$ dengan $I$ suatu interval terbuka dan $\displaystyle x_0, y_0, u_0 \in C_b^1(I)$ . Untuk $s \in I$ , misalkan $\gamma_s = \left\{ \left(x(t,s), y(t,s), u(t,s) \right) : t \in J_s \right\}$ merupakan orbit dari solusi $t \mapsto \left(x(t,s), y(t,s), u(t,s) \right)$ bagi Persamaan (1.2) dengan syarat awal Persamaan (1.3), dengan $J_s \subset \mathbb{R}$ merupakan domain solusi tersebut.¹Jika, untuk suatu $s_\ast\in I$ , $\det \begin{pmatrix} a\left(x(0,s_\ast),y(0,s_\ast),u(0,s_\ast)\right) & \displaystyle\frac{\partial{x}}{\partial s}(0,s_\ast) \\[0.7em] b\left(x(0,s_\ast),y(0,s_\ast),u(0,s_\ast)\right) & \displaystyle\frac{\partial{y}}{\partial s}(0,s_\ast) \end{pmatrix} \neq 0$ maka terdapat lingkungan terbuka $I_\ast\subset I$ dari $s_\ast$ dan $J_\ast\subset\mathbb{R}$ dari $0$ sehingga keluarga kurva $\displaystyle\left\{ \gamma_s \right\}_{s\in I_\ast}$ , untuk $t\in J_\ast$ , mendefinisikan suatu permukaan integral lokal bagi Persamaan (1.1) yang memuat bagian kurva $\Gamma$ dengan $s\in I_\ast$ . Permukaan integral lokal ini tunggal di antara permukaan $C^1$ yang memuat bagian kurva awal yang sama.

Bukti. Tahap i. Dari teorema eksistensi, ketunggalan, dan ketergantungan terdiferensialkan solusi persamaan diferensial biasa terhadap data awal, terdapat interval terbuka $I_b\subset I$ yang memuat $s_\ast$ dan $J_b\subset\mathbb{R}$ yang memuat $0$ sedemikian sehingga solusi $x$ , $y$ , dan $u$ terdefinisi dan terdiferensialkan secara kontinu pada $J_b\times I_b$ . Menurut Teorema Pemetaan Invers pada $(0,s_\ast)$ , kita dapat memperkecil kedua interval sehingga pemetaan $(t,s)\mapsto(x(t,s),y(t,s))$ merupakan difeomorfisme dari $J_b\times I_b$ ke citranya. Khususnya, determinannya tidak nol di seluruh persegi panjang lokal ini. Definisikan $S_b = \left\{ \big( x(t,s),y(t,s),u(t,s)\big) : (t,s) \in J_b \times I_b \right\}$

Tahap ii. Keberadaan permukaan terdiferensialkan $u=u(x,y)$ diperoleh secara lokal dari Teorema Pemetaan Invers karena $\frac{\partial(x,y)}{\partial(t,s)}\bigg|_{(t,s)} = \det \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial{x}}{\partial t} & \displaystyle\frac{\partial{x}}{\partial s} \\[0.7em] \displaystyle\frac{\partial{y}}{\partial t} & \displaystyle\frac{\partial{y}}{\partial s} \end{pmatrix}\bigg|_{(t,s)} = \det \begin{pmatrix} a\left(x(t,s),y(t,s),u(t,s)\right) & \displaystyle\frac{\partial{x}}{\partial s}(t,s) \\[0.7em] b\left(x(t,s),y(t,s),u(t,s)\right) & \displaystyle\frac{\partial{y}}{\partial s}(t,s) \end{pmatrix} \neq 0$ di $J_b\times I_b$ . Dengan mensubstitusikan fungsi balik tunggal pemetaan tersebut ke $u=u(t,s)$ , diperoleh grafik lokal $u=u(x,y)$ yang mendeskripsikan $S_b$ .

Tahap iii. Permukaan $u=u(x,y)$ ini memuat bagian lokal $\Gamma$ berdasarkan konstruksinya. Sesungguhnya,
$\Gamma\big|_{I_b} = \{ (x(0,s),y(0,s),u(0,s)) : s \in I_b \}$ . Selain itu, titik-titik pada permukaan $S_b$ berbentuk $(x,y,u) = \left(x(t,s),y(t,s), u(t,s)\right) = \left(x(t,s),y(t,s), u\big(x(t,s),y(t,s)\big)\right)$ untuk suatu $s\in I_b$ dan $t\in J_b$ . Oleh karena itu, $\begin{align*} c\left(x,y, u\right) &= c\left(x(t,s),y(t,s),u(t,s)\right) = \frac{\partial}{\partial t}{u(t,s)} = \frac{\partial}{\partial t}{u(x(t,s),y(t,s))} \\ &= \frac{\partial{u}}{\partial x}\left(x(t,s),y(t,s)\right) \frac{\partial{x}}{\partial t}\left(t,s\right) + \frac{\partial{u}}{\partial y}\left(x(t,s),y(t,s)\right) \frac{\partial{y}}{\partial t}\left(t,s\right) \\ &= a(x(t,s),y(t,s),u(t,s)) \,\frac{\partial{u}}{\partial x}\left(x(t,s),y(t,s)\right) \\ & \qquad + b(x(t,s),y(t,s),u(t,s)) \,\frac{\partial{u}}{\partial y}\left(x(t,s),y(t,s)\right) \\ &= a(x,y,u) \,\frac{\partial{u}}{\partial x}\left(x,y\right) + b(x,y,u) \,\frac{\partial{u}}{\partial y}\left(x,y\right) \ . \end{align*}$ Jadi, Persamaan (1.1) dipenuhi.

Tahap iv. Untuk membuktikan ketunggalan lokal, kita menunjukkan bahwa kurva karakteristik yang berawal pada permukaan integral $u=v(x,y)$ bagi Persamaan (1.1) dan memuat bagian kurva awal yang sama tetap berada pada permukaan integral tersebut. Berdasarkan ketunggalan kurva karakteristik, grafik $u=v(x,y)$ dan grafik $u=u(x,y)$ yang telah kita temukan berimpit pada lingkungan yang cukup kecil.

Misalkan $g(t,s) = u(t,s) - v(x(t,s),y(t,s)) \ ,$ dengan $\gamma_s = \left\{ (x,y,u) = (x(t,s), y(t,s) ,u(t,s)) : t \in J_b \right\}$ merupakan bagian kurva karakteristik, dengan $s\in I_b$ dianggap tetap. Fungsi $x$ , $y$ , dan $u$ memenuhi Persamaan (1.2) dan Persamaan (1.3). Oleh karena itu,

$\begin{align} \frac{\partial{g}}{\partial t}(t,s) &= \frac{\partial{u}}{\partial t}(t,s) - \frac{\partial{v}}{\partial x}\left(x(t,s),y(t,s)\right) \frac{\partial{x}}{\partial t}(t,s) - \frac{\partial{v}}{\partial y}\left(x(t,s),y(t,s)\right) \frac{\partial{y}}{\partial t}(t,s) \nonumber \\ &= c(x(t,s),y(t,s),u(t,s)) - a(x(t,s),y(t,s),u(t,s))\, \frac{\partial{v}}{\partial x}\left(x(t,s),y(t,s)\right) \nonumber \\ &\qquad - b(x(t,s),y(t,s),u(t,s))\,\frac{\partial{v}}{\partial y}\left(x(t,s),y(t,s)\right) \nonumber \\ &= c(x(t,s),y(t,s),g(t,s)+v(x(t,s),y(t,s))) \nonumber \\ &\qquad - a(x(t,s),y(t,s),g(t,s)+v(x(t,s),y(t,s)))\, \frac{\partial{v}}{\partial x}(x(t,s),y(t,s)) \nonumber \\ &\qquad - b(x(t,s),y(t,s),g(t,s)+v(x(t,s),y(t,s)))\,\frac{\partial{v}}{\partial y}(x(t,s),y(t,s)) \ . \end{align}$ Ini merupakan persamaan diferensial biasa orde pertama bagi $g$ dengan syarat awal $g(0,s) = u(0,s) - v(x(0,s),y(0,s)) = u_0(s) - v(x_0(s),y_0(s)) = 0$ karena $u=v(x,y)$ merupakan permukaan yang memuat bagian kurva awal $\Gamma\big|_{I_b}$ . Berdasarkan ketunggalan solusi persamaan diferensial biasa dan fakta bahwa $v$ memenuhi Persamaan (1.1), diperoleh $g(t,s)=0$ untuk $t\in J_b$ dan $s\in I_b$ karena fungsi tersebut merupakan solusi Persamaan (1.5). Dengan demikian, $v(x(t,s),y(t,s))=u(t,s)=u(x(t,s),y(t,s))$ pada persegi panjang lokal yang sedang ditinjau; yakni, $v=u$ di citranya. $\square$

Catatan. Penting untuk diingat bahwa, untuk setiap kurva karakteristik
$\displaystyle \gamma_s = \left\{ \left(x(t,s),y(t,s),u(t,s)\right) : t \in J_s\right\}$ , vektor $\displaystyle \left(\frac{\partial{x}}{\partial t}(t,s), \frac{\partial{y}}{\partial t}(t,s), \frac{\partial{u}}{\partial t}(t,s)\right)$ berada pada bidang singgung permukaan integral $u=u(x,y)$ (lebih tepatnya, sejajar dengan bidang singgung) di titik $\left(x(t,s),y(t,s),u(t,s)\right)$ .

Catatan. Jika Persamaan (1.4) tidak dipenuhi pada $(t,s) = (0,\tilde{s})$ , maka

$\begin{align} 0 &= \frac{\partial(x,y)}{\partial(t,s)}\bigg|_{(0,\tilde{s})} = \det \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial{x}}{\partial t} & \displaystyle\frac{\partial{x}}{\partial s} \\[0.7em] \displaystyle\frac{\partial{y}}{\partial t} & \displaystyle\frac{\partial{y}}{\partial s} \end{pmatrix}\bigg|_{(0,\tilde{s})} = \det \begin{pmatrix} a(x(0,\tilde{s}), y(0,\tilde{s}), u(0,\tilde{s})) & \displaystyle\frac{\partial{x}}{\partial s}(0,\tilde{s}) \\[0.7em] b(x(0,\tilde{s}), y(0,\tilde{s}), u(0,\tilde{s})) & \displaystyle\frac{\partial{y}}{\partial s}(0,\tilde{s}) \end{pmatrix} \nonumber \\ &= \det \begin{pmatrix} a(x_0(\tilde{s}), y_0(\tilde{s}), u_0(\tilde{s})) & \displaystyle x_0'(\tilde{s}) \\ b(x_0(\tilde{s}), y_0(\tilde{s}), u_0(\tilde{s})) & \displaystyle y_0'(\tilde{s}) \end{pmatrix} \nonumber \\ &= a(x_0(\tilde{s}), y_0(\tilde{s}), u_0(\tilde{s}))y_0'(\tilde{s}) - b(x_0(\tilde{s}), y_0(\tilde{s}),u_0(\tilde{s})) x_0'(\tilde{s}) \ .\end{align}$

Jika $\Gamma$ berada pada permukaan integral $u=u(x,y)$ , maka $u_0(s) = u(x_0(s), y_0(s))$ sehingga

$u_0'(s) = \frac{\partial{u}}{\partial x}(x_0(s), y_0(s))x_0'(s) +\frac{\partial{u}}{\partial y}(x_0(s), y_0(s))y_0'(s) \ .$ Selain itu, dari Persamaan (1.1) kita memperoleh

$a(x, y, u)\frac{\partial{u}}{\partial x}(x, y) + b(x, y, u)\frac{\partial{u}}{\partial y}(x, y) = c(x, y, u)$ pada $(x,y,u)= (x_0(s), y_0(s), u_0(s))$ untuk $s \in I$ .

Oleh karena itu, dari Persamaan (1.7) dan Persamaan (1.8), kita memperoleh

$\begin{align} & b(x_0(\tilde{s}), y_0(\tilde{s}),u_0(\tilde{s})) u_0'(\tilde{s}) - c(x_0(\tilde{s}), y_0(\tilde{s}),u_0(\tilde{s})) y_0'(\tilde{s}) \nonumber \\ &\qquad = b(x_0(\tilde{s}), y_0(\tilde{s}),u_0(\tilde{s})) \left(\frac{\partial{u}}{\partial x}(x_0(\tilde{s}), y_0(\tilde{s}))x_0'(\tilde{s}) +\frac{\partial{u}}{\partial y}(x_0(\tilde{s}), y_0(\tilde{s}))y_0'(\tilde{s})\right) \nonumber \\ &\qquad \quad- \left(a(x, y, u)\frac{\partial{u}}{\partial x}(x,y) + b(x, y, u) \frac{\partial{u}}{\partial y}(x,y) \right)\bigg|_{(x,y,u)= (x_0(\tilde{s}), y_0(\tilde{s}), u_0(\tilde{s}))} y_0'(\tilde{s}) \nonumber \\ &\qquad = \bigg( b(x_0(\tilde{s}), y_0(\tilde{s}),u_0(\tilde{s}))x_0'(\tilde{s}) - a(x_0(\tilde{s}), y_0(\tilde{s}), u_0(\tilde{s}))y_0'(\tilde{s}) \bigg) \frac{\partial{u}}{\partial x}(x_0(\tilde{s}), y_0(\tilde{s})) \nonumber \\ &\qquad = 0 \ ,\end{align}$ dengan identitas terakhir berasal dari Persamaan (1.6). Serupa dengan itu,

$\begin{align} & a(x_0(\tilde{s}), y_0(\tilde{s}),u_0(\tilde{s})) u_0'(\tilde{s}) - c(x_0(\tilde{s}), y_0(\tilde{s}),u_0(\tilde{s})) x_0'(\tilde{s}) \nonumber \\ &\qquad = a(x_0(\tilde{s}), y_0(\tilde{s}),u_0(\tilde{s})) \left(\frac{\partial{u}}{\partial x}(x_0(\tilde{s}), y_0(\tilde{s}))x_0'(\tilde{s}) +\frac{\partial{u}}{\partial y}(x_0(\tilde{s}), y_0(\tilde{s}))y_0'(\tilde{s})\right) \nonumber \\ &\qquad \quad- \left(a(x, y, u)\frac{\partial{u}}{\partial x}(x,y) + b(x, y, u) \frac{\partial{u}}{\partial y}(x,y) \right)\bigg|_{(x,y,u)= (x_0(\tilde{s}), y_0(\tilde{s}),u_0(\tilde{s}))} x_0'(\tilde{s}) \nonumber \\ &\qquad = \bigg( a(x_0(\tilde{s}), y_0(\tilde{s}),u_0(\tilde{s}))y_0'(\tilde{s}) - b(x_0(\tilde{s}), y_0(\tilde{s}), u_0(\tilde{s}))x_0'(\tilde{s}) \bigg) \frac{\partial{u}}{\partial y}(x_0(\tilde{s}), y_0(\tilde{s})) \nonumber \\ &\qquad = 0 \ .\end{align}$ Dengan demikian, dari Persamaan (1.6), Persamaan (1.9), dan Persamaan (1.10), kita menyimpulkan bahwa $\left(a(x,y,u), b(x,y,u), c(x,y,u)\right) \big|_{(x,y,u)=(x_0(\tilde{s}), y_0(\tilde{s}), u_0(\tilde{s}))} \times \left(x_0'(\tilde{s}), y_0'(\tilde{s}), u_0'(\tilde{s}) \right) = 0$ sehingga kedua vektor tersebut sejajar.

Jika Persamaan (1.4) tidak dipenuhi pada $(t,s)=(0,\tilde{s})$ , kesimpulannya bersifat lokal pada titik tersebut. Jika Persamaan (1.4) tidak dipenuhi dan data awal memenuhi syarat kompatibilitas di atas dan arah kurva $\Gamma$ berimpit dengan arah karakteristik, ketunggalan lokal dapat hilang: data yang kompatibel dapat termuat dalam lebih dari satu permukaan integral lokal. Jika syarat kompatibilitas tidak dipenuhi, tidak ada permukaan integral $C^1$ yang memuat $\Gamma$ di sekitar titik itu. Kegagalan pada satu nilai $\tilde{s}$ tidak dengan sendirinya menjadikan seluruh kurva $\Gamma$ karakteristik.

Contoh 1. Selesaikan persamaan diferensial parsial $\frac{\partial{u}}{\partial x} + \frac{\partial{u}}{\partial y} = 2$ dengan syarat $\displaystyle u(x,0)=x^2$ .

Persamaan karakteristiknya adalah $x'(t) = 1$ , $y'(t) = 1$ , dan $u'(t) = 2$ . Kurva awal diberikan oleh $x(0) = s$ , $y(0) = 0$ , dan $\displaystyle u(0) = s^2$ .

Persamaan $x'(t) = 1$ dengan $x(0)=s$ memberikan $x = x(t,s) = t + s$ , persamaan $y'(t) = 1$ dengan $y(0)=0$ memberikan $y = y(t,s) = t$ , dan persamaan $u'(t) = 2$ dengan $\displaystyle u(0)=s^2$ memberikan $\displaystyle u = u(t,s) = 2t+s^2$ . Kita dapat menyelesaikan $x = t+s$ dan $y=t$ terhadap $s$ dan $t$ sehingga $t=y$ dan $s= x-y$ . Jika nilai-nilai $s$ dan $t$ ini kita substitusikan ke ekspresi untuk $u$ , kita memperoleh permukaan integral $\displaystyle u= u(x,y) = 2y + (x-y)^2$ .

Contoh 2. Selesaikan persamaan diferensial parsial $x \frac{\partial{u}}{\partial x} + \frac{\partial{u}}{\partial y} = u$ dengan syarat $u(x,0)=\ln(x)$ untuk $x>0$ .

Persamaan karakteristiknya adalah $x'(t) = x(t)$ , $y'(t) = 1$ , dan $u'(t) = u(t)$ . Kurva awal diberikan oleh $x(0) = s$ , $y(0) = 0$ , dan $u(0) = \ln(s)$ .

Persamaan $x'(t) = x(t)$ dengan $x(0)=s$ memberikan $\displaystyle x = x(t,s) = s e^t$ , persamaan $y'(t) = 1$ dengan $y(0)=0$ memberikan $y = y(t,s) = t$ , dan persamaan $u'(t) = u(t)$ dengan $u(0)=\ln(s)$ memberikan $\displaystyle u = u(t,s) = \ln(s)e^t$ . Kita dapat menyelesaikan $\displaystyle x = se^t$ dan $y=t$ terhadap $s$ dan $t$ sehingga $t=y$ dan $\displaystyle s= xe^{-y}$ . Jika nilai-nilai $s$ dan $t$ ini kita substitusikan ke ekspresi untuk $u$ , kita memperoleh permukaan integral $u= u(x,y) = \ln(xe^{-y}) e^y = \ln(x) e^y -y e^y \ .$

Contoh 3. Selesaikan persamaan diferensial parsial $\frac{\partial{u}}{\partial x} + \frac{\partial{u}}{\partial y} = u$ dengan syarat $u(x,0)=\cos(x)$ .

Persamaan karakteristiknya adalah $x'(t) = 1$ , $y'(t) = 1$ , dan $u'(t) = u(t)$ . Kurva awal diberikan oleh $x(0) = s$ , $y(0) = 0$ , dan $u(0) = \cos(s)$ .

Persamaan $x'(t) = 1$ dengan $x(0)=s$ memberikan $x = x(t,s) = t + s$ , persamaan $y'(t) = 1$ dengan $y(0)=0$ memberikan $y = y(t,s) = t$ , dan persamaan $u'(t) = u(t)$ dengan $u(0)=\cos(s)$ memberikan $\displaystyle u = u(t,s) = \cos(s)e^t$ . Kita dapat menyelesaikan $x = t+s$ dan $y=t$ terhadap $s$ dan $t$ sehingga $t=y$ dan $s= x-y$ . Jika nilai-nilai $s$ dan $t$ ini kita substitusikan ke ekspresi untuk $u$ , kita memperoleh permukaan integral $\displaystyle u= u(x,y) = \cos(x-y) e^y$ .

Contoh 4. Selesaikan persamaan diferensial parsial $x^2 \frac{\partial{u}}{\partial x} + y^2 \frac{\partial{u}}{\partial y} = u^2$ dengan syarat $u(x,2x)=1$ untuk $x\neq0$ .

Persamaan karakteristiknya adalah $\displaystyle x'(t) = x^2(t)$ , $\displaystyle y'(t) = y^2(t)$ , dan $\displaystyle u'(t) = u^2(t)$ . Kurva awal diberikan oleh $x(0) = s$ , $y(0) = 2s$ , dan $u(0) = 1$ untuk $s\neq0$ .

Persamaan $\displaystyle x'(t) = x^2(t)$ dengan $x(0)=s$ memberikan

$x = x(t,s) = \frac{s}{1-st} \ .$ Serupa dengan itu, persamaan $\displaystyle y'(t) = y^2(t)$ dengan $y(0)=2s$ memberikan

$y = y(t,s) = \frac{2s}{1-2st} \ .$ Terakhir, persamaan $\displaystyle u'(t) = u^2(t)$ dengan $u(0)=1$ memberikan $\displaystyle u = u(t,s) = \frac{1}{1-t}$ . Kita dapat menyelesaikan Persamaan (1.11) dan Persamaan (1.12) terhadap $s$ dan $t$ dalam variabel $x$ dan $y$ sehingga diperoleh $\displaystyle t = \frac{1}{x} - \frac{2}{y}$ dan $\displaystyle s = \frac{xy}{2y-2x}$ . Jika nilai-nilai $s$ dan $t$ ini kita substitusikan ke ekspresi untuk $u$ , kita memperoleh permukaan integral $u= u(x,y) = \frac{xy}{xy-y+2x} \ .$ Rumus ini berlaku secara lokal di sekitar masing-masing dari kedua bagian kurva awal $y=2x$ , $x\neq0$ , pada daerah tempat $xy-y+2x\neq0$ dan solusi karakteristik tetap terdefinisi.

Metode Lagrange

Metode Lagrange menghasilkan solusi umum (yakni, suatu keluarga permukaan integral yang tidak diharuskan memuat kurva awal $\Gamma$ ) dari suatu persamaan diferensial parsial kuasilinear orde pertama seperti Persamaan (1.1). Kita mengasumsikan bahwa kurva-kurva karakteristik diberikan oleh perpotongan dua keluarga permukaan yang berbentuk $\phi(x,y,u) = \alpha \quad \text{dan} \quad \psi(x,y,u) = \beta \ .$ Kurva karakteristik yang berkaitan dengan syarat awal $(x_0(s),y_0(s),u_0(s)) \in \Gamma$ merupakan perpotongan permukaan $\phi(x,y,u) = \alpha_s$ dan $\psi(x,y,u) = \beta_s$ untuk suatu pasangan $(\alpha_s, \beta_s)$ , sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 2.

Perpotongan dua permukaan tingkat menghasilkan kurva karakteristik yang melalui data awal.

Himpunan $\displaystyle\left\{ (\alpha_s,\beta_s) : s \in I \right\}$ merupakan suatu kurva pada bidang $\alpha$ , $\beta$ . Jika kurva ini diberikan oleh $F(\alpha,\beta)=0$ , permukaan integral persamaan kuasilinear yang memuat $\Gamma$ diberikan oleh $F(\phi(x,y,u), \psi(x,y,u)) = 0 \ .$ Masalahnya adalah menemukan $\phi$ dan $\psi$ . Dalam beberapa kasus yang jarang terjadi, kita dapat menemukan dua fungsi bernilai vektor $\displaystyle v_1:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3$ dan $\displaystyle v_2:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3$ sedemikian sehingga, pada setiap titik di daerah yang sedang ditinjau, $v_1(x,y,u)$ dan $v_2(x,y,u)$ bebas secara linear dan ortogonal terhadap $\big(a(x,y,u),b(x,y,u),c(x,y,u)\big)$ untuk semua $(x,y,u)$ , serta $\nabla\mathbin{\times}(v_1) = \nabla\mathbin{\times}(v_2)=0$ . Karena $v_1$ dan $v_2$ irrotasional, terdapat fungsi-fungsi terdiferensialkan $\displaystyle\phi:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}$ dan $\displaystyle\psi:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}$ sedemikian sehingga $\nabla\phi = v_1$ dan $\nabla\psi = v_2$ . Fungsi $\phi$ dan $\psi$ konstan sepanjang kurva-kurva karakteristik karena $\begin{multline*} \frac{\partial}{\partial t}{ \phi(x(t,s),y(t,s),u(t,s)) } = \nabla\phi(x(t,s),y(t,s),u(t,s)) \cdot \left(\frac{\partial{x}}{\partial t}(t,s), \frac{\partial{y}}{\partial t}(t,s), \frac{\partial{u}}{\partial t}(t,s) \right) \\ = v_1(x(t,s),y(t,s),u(t,s)) \cdot (a(x,y,u),b(x,y,u),c(x,y,u))\bigg|_{(x,y,u)=(x(t,s),y(t,s),u(t,s))} = 0 \end{multline*}$ dan, serupa dengan itu, $\frac{\partial}{\partial t}{ \psi(x(t,s),y(t,s),u(t,s)) } = 0$ untuk semua $t$ dan $s$ .

Contoh 5. Temukan permukaan integral persamaan diferensial parsial $-y \frac{\partial{u}}{\partial x} + x \frac{\partial{u}}{\partial y} = 0$ dengan syarat $\displaystyle u(x,x)=e^x$ untuk $x\neq0$ .

Kita mempunyai $\left(a(x,y,u),b(x,y,u),c(x,y,u)\right) = (-y,x,0) \ .$ Pada daerah $x^2+y^2>0$ , vektor $v_1(x,y,u)=(x,y,0)$ dan $v_2(x,y,u)=(0,0,1)$ bebas secara linear dan memenuhi $\nabla\mathbin{\times}(v_1) = \nabla\mathbin{\times}(v_2) = 0$ serta ortogonal terhadap
$(a(x,y,u),b(x,y,u),c(x,y,u))$ untuk semua $(x,y,u)$ . Kita mempunyai bahwa $\displaystyle\phi(x,y,u)=(x^2+y^2)/2$ memenuhi $\nabla\phi = v_1$ dan $\psi(x,y,u)=u$ memenuhi $\nabla\psi = v_2$ . Permukaan integral persamaan diferensial parsial berbentuk

$F(x^2+y^2, u) = 0$ untuk fungsi-fungsi $\displaystyle F:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ .

Misalkan $\displaystyle\frac{\partial{F}}{\partial \beta}(\alpha,\beta) \neq 0$ , maka secara lokal kita dapat menyelesaikan $F(\alpha,\beta)=0$ terhadap $\beta$ sebagai fungsi dari $\alpha$ . Dari Persamaan (1.13) diperoleh $\displaystyle u(x,y)=f(x^2+y^2)$ untuk suatu fungsi $f:(0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ pada daerah yang relevan.

Pada komponen awal $x>0$ , syarat $u(x,x)=e^x$ dan $z=2x^2$ memberikan $f_+(z)=e^{\sqrt{z/2}}$ . Pada komponen awal $x<0$ , syarat yang sama memberikan $f_-(z)=e^{-\sqrt{z/2}}$ . Jadi, kedua permukaan integral lokalnya adalah $u_+(x,y)=e^{\sqrt{(x^2+y^2)/2}} \quad\text{dan}\quad u_-(x,y)=e^{-\sqrt{(x^2+y^2)/2}},$ masing-masing pada lingkungan komponen awal positif dan negatif di dalam $x^2+y^2>0$ . Tidak ada satu cabang pada daerah terhubung yang memuat kedua titik awal $(r,r)$ dan $(-r,-r)$ beserta busur karakteristik di antaranya: invariansi sepanjang lingkaran akan memaksa $e^r=e^{-r}$ untuk $r>0$ .

Atribusi dan hak. Karya sumber oleh Benoit Dionne dilisensikan berdasarkan Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International. Terjemahan ini menandai perubahan dan menggunakan lisensi komponen yang sama. Ini bukan terbitan atau dukungan resmi Benoit Dionne maupun University of Ottawa.

Domain parameter lengkapnya adalah $D=\{(t,s):s\in I,\ t\in J_s\}$ . Mulai sekarang, kita akan sering menyatakan “untuk semua $t$ dan $s$ ” dengan maksud “untuk semua $(t,s)\in D$ ”.↩︎