Teorema Cauchy–Kovalevski dan Holmgren

Batas sumber. Bagian ini mengikat cauchy_problem.tex baris 119-213 pada sumber beku.

Teorema 3.1.1 (Cauchy–Kovalevski). Misalkan $\displaystyle S \subset \mathbb{R}^n$ suatu hiperpermukaan analitik. Asumsikan bahwa $G$ analitik di sekitar data jet awal yang relevan di atas $S$ , dan bahwa $g_0:S\rightarrow \mathbb{R}$ , $g_1:S\rightarrow \mathbb{R}$ , …, $g_{m-1}:S\rightarrow \mathbb{R}$ merupakan fungsi-fungsi analitik pada $S$ . Jika $S$ merupakan hiperpermukaan nonkarakteristik (lihat Definisi 2.4.6), maka terdapat solusi analitik tunggal $u$ dari (3.1.1) dan (3.1.2) di suatu lingkungan $S$ .

Sebagai contoh, bukti teorema ini dapat ditemukan dalam J; Tr.

Ketunggalan dalam Teorema Cauchy–Kovalevski berlaku di antara fungsi-fungsi analitik. Teorema ini tidak menyatakan apa pun tentang solusi dengan kehalusan yang lebih rendah. Teorema berikut secara garis besar menyatakan bahwa, untuk persamaan diferensial parsial linear, ketunggalan berlaku di antara semua fungsi. Teorema ini juga tidak akan dibuktikan. Sebagai contoh, sebuah bukti dapat ditemukan dalam Smo.

Teorema 3.1.2 (Holmgren). Tinjau persamaan diferensial parsial linear orde $\displaystyle m$

$L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})u = \sum_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq m} a_{\boldsymbol{\alpha}}(\boldsymbol{x}) \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u = 0$ pada $\displaystyle\mathbb{R}^n$ , dengan fungsi-fungsi $\displaystyle a_{\boldsymbol{\alpha}}:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ analitik real. Misalkan $S$ suatu hiperpermukaan analitik nonkarakteristik. Maka, setiap solusi kelas $\displaystyle C^m(\mathbb{R}^n)$ yang memenuhi syarat Cauchy $\displaystyle\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u = 0$ pada $S$ untuk semua multiindeks $\boldsymbol{\alpha}$ dengan $|\boldsymbol{\alpha}|<m$ harus memenuhi $u=0$ secara lokal di dekat setiap titik pada $S$ .

J membuktikan versi Teorema Holmgren yang sedikit lebih umum. Bukti Teorema Holmgren tidak mudah. Sebelum menyatakan versi ini, kita memerlukan sebuah definisi singkat.

Definisi 3.1.3. Misalkan $\displaystyle\Omega \subset \mathbb{R}^n$ suatu himpunan terbuka. Andaikan bahwa

terdapat bijeksi analitik real $F:B \times ]a,b[ \rightarrow \Omega$ , dengan $B$ sebuah bola terbuka di $\displaystyle\mathbb{R}^{n-1}$ dan $a<b$ ,
determinan Jacobian $F$ berbeda dari $0$ di setiap titik $B\times ]a,b[$ , dan
$\displaystyle\Omega = \bigcup_{\lambda \in ]a,b[} S_\lambda$ , dengan $\displaystyle S_\lambda = \left\{ \boldsymbol{x} : \boldsymbol{x} = F(\boldsymbol{y},\lambda) \ \text{untuk} \ \boldsymbol{y} \in B \right\}$ .

Maka, keluarga hiperpermukaan $\displaystyle\left\{ S_\lambda \right\}_{\lambda \in ]a,b[}$ merupakan keluarga analitik hiperpermukaan (analytic field)

bagi $\Omega$ .

Teorema 3.1.4 (Holmgren). Tinjau persamaan diferensial parsial linear orde $\displaystyle m$

$L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})u = \sum_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq m} a_{\boldsymbol{\alpha}}(\boldsymbol{x}) \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u = 0$ pada suatu himpunan terbuka $\Omega$ di $\displaystyle\mathbb{R}^n$ , dengan fungsi-fungsi $a_{\boldsymbol{\alpha}}:\Omega\rightarrow \mathbb{R}$ analitik real. Misalkan $\displaystyle\left\{ S_\lambda \right\}_{\lambda \in ]a,b[}$ suatu keluarga analitik hiperpermukaan bagi $\Omega$ .
Misalkan $\displaystyle R = \left\{ \boldsymbol{x} : \boldsymbol{x} \in \Omega \ \text{dengan} \ x_n\geq 0 \right\}$ , $\displaystyle Z = \left\{ \boldsymbol{x} : \boldsymbol{x} \in \Omega \ \text{dengan} \ x_n = 0 \right\}$ dan $\displaystyle\Omega_\mu = \bigcup_{a<\lambda \leq \mu} S_\lambda$ .

Jika $Z \neq \emptyset$ , $Z$ dan setiap $S_\lambda$ bukan hiperpermukaan karakteristik, serta $\Omega_\mu \cap R$ merupakan subhimpunan tertutup dari $\Omega$ (dengan topologi terinduksi pada $\Omega$ ) untuk setiap $\mu \in ]a,b[$ , maka solusi tunggal kelas $\displaystyle C^m(\overline{R})$ yang memenuhi syarat Cauchy $\displaystyle\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u = 0$ pada $Z$ untuk semua multiindeks $\boldsymbol{\alpha}$ dengan $|\boldsymbol{\alpha}|<m$ adalah $u=0$ pada $R$ .

Jika $\displaystyle R\subset \mathbb{R}^n$ , ingat bahwa $\displaystyle f \in C^m(\overline{R})$ berarti bahwa $\displaystyle f\in C(\overline{R}) \cap C^m(R)$ dan $\displaystyle\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} f$ dapat diperluas secara kontinu ke $\overline{R}$ untuk semua multiindeks $\boldsymbol{\alpha}$ dengan $|\boldsymbol{\alpha}|\leq m$ .

Bukti Teorema 3.1.2 pada kenyataannya terdiri atas konstruksi suatu keluarga analitik tertentu.

Atribusi dan hak. Karya sumber oleh Benoit Dionne dilisensikan berdasarkan Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International. Terjemahan dan perubahan yang dicatat menggunakan lisensi komponen yang sama. Produksi terjemahan dan edisi dibantu OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; semua kredit penulis dan kontributor manusia tetap dipertahankan. Ini bukan terbitan atau dukungan resmi Benoit Dionne maupun University of Ottawa.