Prakata

Catatan kuliah ini ditujukan untuk mata kuliah tingkat sarjana lanjut mengenai persamaan diferensial parsial atau untuk mata kuliah tingkat pascasarjana awal mengenai persamaan diferensial parsial.

Terdapat banyak buku unggul mengenai persamaan diferensial parsial bagi mahasiswa pascasarjana (atau mahasiswa tingkat sarjana lanjut) yang hendak melanjutkan kajian persamaan diferensial parsial untuk tesis mereka. Namun, buku-buku tersebut sering kali menuntut dasar yang kuat dalam teori ukuran dan integrasi, serta analisis fungsional, yang belum dimiliki oleh mahasiswa yang diwajibkan mempelajari persamaan diferensial parsial. Akibatnya, para mahasiswa ini memerlukan banyak waktu untuk mempelajari dan memahami buku-buku tersebut karena gaya penyajiannya yang padat. Hal ini kerap mengecewakan mahasiswa yang tidak berencana menekuni penelitian persamaan diferensial parsial, tetapi hanya mengambil mata kuliah persamaan diferensial parsial sebagai mata kuliah pilihan dalam program mereka. Catatan kuliah ini mencakup sebagian besar topik penting yang terdapat dalam buku-buku persamaan diferensial parsial dan umumnya menggunakan pendekatan yang sama, tetapi menyediakan jauh lebih banyak perincian agar mahasiswa tidak perlu bersusah payah memahami teorinya.

Seperti telah disebutkan di atas, mahasiswa masa kini tidak selalu mempelajari teori ukuran dan integrasi, serta analisis fungsional, sebanyak mahasiswa pada masa lalu. Sebagian besar buku unggul mengenai persamaan diferensial parsial menuntut penguasaan yang baik atas topik-topik tersebut. Catatan kuliah ini dapat diikuti oleh mahasiswa yang hanya memiliki pengantar minimal mengenai teori ukuran dan integrasi serta analisis fungsional, dan yang bersedia menerima beberapa hasil mendasar yang disajikan dalam Bab 4. Para penulis sering menganggap pembaca akan melengkapi sendiri perincian-perincian baku dalam analisis. Sayangnya, mahasiswa dapat tersendat ketika berusaha memahami pembuktian atau, lebih buruk lagi, sama sekali melewatkan seluk-beluk beberapa pembuktian. Misalnya, mereka mungkin menganggap bahwa semua deret dan integral konvergen, atau bahwa operasi penurunan dan pengintegralan selalu dapat dipertukarkan. Dengan demikian, setiap perhitungan menjadi sekadar perhitungan formal. Kami menyediakan banyak perincian analisis yang sering dianggap sudah diketahui dalam buku-buku persamaan diferensial parsial. Semoga mahasiswa belajar menghargai ketelitian analisis beserta alasan keberadaannya.

Catatan kuliah ini memuat sebagian besar materi persamaan diferensial parsial yang biasanya diajarkan pada tingkat sarjana bagi mahasiswa sains dan teknik. Materi ini disertakan karena banyak mahasiswa matematika tidak berkesempatan mempelajari persamaan diferensial parsial pada tingkat sarjana. Dengan demikian, perjumpaan pertama mereka dengan persamaan diferensial parsial baru terjadi pada tingkat pascasarjana, ketika seluruh materi persamaan diferensial parsial tingkat sarjana telah dianggap dikuasai. Bagian-bagian yang mencakup materi tingkat sarjana dapat diikuti oleh pembaca yang hanya berlatar belakang kalkulus. Penyajian dalam bagian-bagian ini biasanya lebih formal. Oleh karena itu, bagian-bagian tersebut sesuai untuk pengantar persamaan diferensial parsial bagi mahasiswa sains dan teknik. Mata kuliah tingkat sarjana pertama dapat mencakup:

• sebagian dari Bab 1;

• pengantar Bab 13 dan Bagian 13.1;

• Bab 2.

• Bagian 4.2 dan 4.3 (dibatasi pada kajian deret Fourier klasik);

• sebagian dari Bab 5;

• Bab 7 kecuali Bagian 7.3;

• Bab 8 kecuali Bagian 8.3 dan kasus berdimensi lebih tinggi dalam Bagian 8.4;

• Bagian 9.1, 9.2, dan 9.10; serta

• Bab 10 kecuali persamaan panas berdimensi lebih tinggi dalam Bagian 10.1 dan Bagian 10.2.

Untuk topik yang lebih lanjut, pembaca diharapkan telah mengenal seluruh konsep kalkulus vektor dalam $\displaystyle\mathbb{R}^n$. Topik-topik ini tetap dapat diikuti oleh pembaca yang hanya menempuh mata kuliah kalkulus vektor yang lebih standar dalam $\displaystyle\mathbb{R}^2$ dan $\displaystyle\mathbb{R}^3$, asalkan mereka menganggap bahwa $n$ adalah $2$ atau $3$ ketika membaca bagian-bagian yang membahas topik lanjut tersebut. Namun, pembaca mungkin mendapati penyajiannya sangat teknis dibandingkan dengan penyajian yang lebih sederhana dan terbatas pada $n=2$ atau $n=3$.

Selain Bab 1 dan 13, catatan kuliah ini membahas persamaan diferensial parsial linear. Karena itu, persamaan reaksi–difusi, soliton, hamburan balik, dan sebagainya tidak dibahas. Secara khusus, teori semigrup tidak dibahas. Untuk pokok tersebut, kami sangat merekomendasikan Henry (1974). Metode energi digunakan beberapa kali dalam catatan kuliah ini, tetapi tidak seluas penggunaannya dalam sejumlah buku persamaan diferensial parsial.

Akan sangat disayangkan jika persamaan diferensial parsial utama yang sangat memengaruhi perkembangan teori persamaan diferensial parsial tidak diberi motivasi heuristik. Persamaan yang dimaksud ialah persamaan gelombang, persamaan panas, dan persamaan Laplace. Ketiganya disajikan dalam bagian-bagian berikut.

Persamaan Gelombang

Kita meninjau dawai gitar atau biola dengan panjang $L$ dalam keadaan diam. Karena dawai tersebut sangat tipis, kita hanya meninjau dimensi linearnya. Dawai seperti ini homogen. Oleh karena itu, kita dapat menganggap rapat massa linearnya bernilai konstan, yaitu $\rho$. Selain itu, kita menganggap dawai bersifat elastis sempurna ketika mengalami getaran yang sangat kecil. Karena itu, tegangan pada dawai menyinggung dawai. Lebih lanjut, karena elastisitasnya sempurna, kita juga menganggap bahwa setiap titik pada dawai hanya bergerak naik dan turun dalam suatu bidang vertikal, seperti diperlihatkan pada gambar di bawah. Tidak ada gerak horizontal. Kita menganggap bahwa gerak vertikalnya sangat kecil.

Posisi vertikal dawai pada posisi $x$ di sepanjang dawai dan pada waktu $t$ dilambangkan dengan $u(x,t)$, sedangkan vektor tegangan pada dawai di posisi tersebut dan pada waktu $t$ dilambangkan dengan $\boldsymbol{T}(x,t)$. Kita meninjau bagian dawai yang sangat kecil dan menerapkan hukum Newton, “gaya sama dengan massa dikali percepatan,” pada kedua ujung bagian itu.

Misalkan $T(x,t) = \|\boldsymbol{T}(x,t)\|_2$ adalah panjang Euklides vektor tegangan $\boldsymbol{T}(x,t)$ pada posisi $x$ dan waktu $t$. Dengan demikian, $T(x,t)$ adalah besar tegangan pada posisi $x$ dan waktu $t$.

Karena tidak ada gerak horizontal, selisih antara komponen horizontal gaya pada kedua ujung bagian itu sama dengan nol; yaitu, $T(x_2,t) \cos(\theta_2) - T(x_1,t) \cos(\theta_1) = 0$. Karena $\displaystyle\cos(\theta_1) = \frac{1}{\sqrt{1+u_x^2(x_1,t)}}$ dan $\displaystyle\cos(\theta_2) = \frac{1}{\sqrt{1+u_x^2(x_2,t)}}$, kita memperoleh

$$\frac{T(x_1,t)}{\sqrt{1+u_x^2(x_1,t)}} = \frac{T(x_2,t)}{\sqrt{1+u_x^2(x_2,t)}} \ .$$(1) Untuk gerak vertikal, selisih antara komponen vertikal gaya pada kedua ujung bagian itu sama dengan massa bagian dawai dikali percepatannya; yaitu, $\displaystyle T(x_2,t) \sin(\theta_2) - T(x_1,t) \sin(\theta_1) = \int_{x_1}^{x_2} \rho u_{tt}(x,t) \,\mathrm{d}{x}$. Karena $\displaystyle\sin(\theta_1) = \frac{u_x(x_1,t)}{\sqrt{1+u_x^2(x_1,t)}}$ dan $\displaystyle\sin(\theta_2) = \frac{u_x(x_2,t)}{\sqrt{1+u_x^2(x_2,t)}}$, kita memperoleh

$$\frac{T(x_2,t) u_x(x_2,t)}{\sqrt{1+u_x^2(x_2,t)}} - \frac{T(x_1,t) u_x(x_1,t)}{\sqrt{1+u_x^2(x_1,t)}} = \int_{x_1}^{x_2} \rho u_{tt}(x,t) \,\mathrm{d}{x} \ .$$(2)

Karena kita menganggap gerak vertikalnya sangat kecil, kita dapat menganggap bahwa $u_x(x,t) \approx 0$ untuk semua $x$ dan $t$. Maka, Persamaan (1) menghasilkan $T(x_1,t) \approx T(x_2,t)$. Karena kita menganggap hal ini berlaku untuk semua $x_1$, $x_2$, dan $t$, dapat disimpulkan bahwa besar tegangan konstan di sepanjang dawai; yaitu, $T(x,t) \equiv T$, suatu konstanta, untuk semua $x$ dan $t$.

Dengan semua asumsi tersebut, kita dapat menulis ulang Persamaan (2) sebagai

$$T \big( u_x(x_2,t) - u_x(x_1,t) \big) = \rho \int_{x_1}^{x_2} u_{tt}(x,t) \,\mathrm{d}{x} \ .$$(3) Jika kedua ruas Persamaan (3) dibagi dengan $x_2-x_1$, lalu $x_2 \to x_1$, maka dari definisi turunan diperoleh $T u_{xx}(x_1,t) = \rho u_{tt}(x_1,t)$. Karena $x_1$ sebarang, kita memperoleh persamaan gelombang yang termasyhur,

$$u_{tt} = c^2 u_{xx}$$(4) untuk $0 < x < L$ dan $t > 0$, dengan $c = \sqrt{T/\rho}$. Persamaan diferensial parsial ini biasanya dilengkapi dengan syarat awal dan syarat batas. Misalnya, posisi awal dawai pada waktu $t=0$ dapat diberikan oleh $u(x,0) = f(x)$ untuk $0 \leq x \leq L$. Selain itu, kedua ujung dawai dapat dibuat tetap. Jadi, $u(0,t) = u(L,t) = 0$ untuk $t\geq 0$. Masih ada banyak pilihan syarat batas lainnya. Persamaan diferensial parsial dalam Persamaan (4) juga dapat dimodifikasi untuk memasukkan redaman. Sebagian persoalan ini akan dibahas dalam catatan kuliah ini.

Penalaran serupa dapat digunakan untuk menurunkan persamaan gelombang bagi membran drum yang bergetar; yaitu, $$u_{tt} = c^2 \big( u_{xx} + u_{yy} \big)$$ untuk $(x,y) \in D$ dan $t > 0$, dengan $c = \sqrt{T/\rho}$ dan $D$ adalah daerah dalam $\displaystyle\mathbb{R}^2$ yang merepresentasikan membran tersebut.

Persamaan Panas

Untuk mempelajari difusi panas dalam batang tipis, lebih mudah—dan setara— untuk meninjau difusi zat pewarna dalam air yang berada di dalam tabung tipis dan panjang. Menurut hukum Fick, zat pewarna berdifusi dari daerah berkonsentrasi lebih tinggi menuju daerah berkonsentrasi lebih rendah, dan laju difusinya berbanding lurus dengan perbedaan konsentrasi. Dalam persamaan panas, difusi berlangsung dari daerah bersuhu lebih tinggi menuju daerah bersuhu lebih rendah, dan laju difusinya berbanding lurus dengan perbedaan suhu. Perlu ditegaskan bahwa untuk batang, kita menganggap difusi hanya berlangsung sepanjang batang dan tidak menembus permukaan samping batang.

Karena tabung tersebut sangat tipis, kita hanya meninjau dimensi linear tabung yang panjangnya $L$. Kita meninjau suatu bagian kecil dari tabung dengan panjang keseluruhan $L$.

Misalkan $u(x,t)$ adalah rapat massa linear zat pewarna pada posisi $x$ dan waktu $t$. Massa zat pewarna dalam bagian kecil tersebut diberikan oleh $\displaystyle M(x_1,x_2,t) = \int_{x_1}^{x_2} u(x,t) \,\mathrm{d}{x}$. Perubahan massa zat pewarna dalam bagian kecil itu terjadi karena zat pewarna mengalir masuk atau keluar melalui kedua ujung bagian tersebut. Oleh karena itu, $$\int_{x_1}^{x_2} u_t(x,t) \,\mathrm{d}{x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}}{\int_{x_1}^{x_2} u(x,t) \,\mathrm{d}{x}} = k \big( u_x(x_2,t) - u_x(x_1,t) \big) \ ,$$ dengan $k$ suatu konstanta. Jika kedua ruas persamaan ini dibagi dengan $x_2-x_1$, lalu $x_2 \to x_1$, maka dari definisi turunan diperoleh $\displaystyle u_t(x_1,t) = k u_{xx}(x_1,t)$. Karena $x_1$ sebarang, kita memperoleh persamaan panas

$$u_t = k u_{xx}$$(5) untuk $0 < x < L$ dan $t > 0$. Persamaan ini disebut persamaan panas karena secara tradisional $u(x,t)$ merepresentasikan suhu pada posisi $x$ dan waktu $t$ dalam batang tipis dan panjang. Namun, seperti baru saja kita lihat dan seperti lazimnya dalam matematika, persamaan diferensial parsial yang sama dapat digunakan untuk mempelajari berbagai fenomena. Persamaan diferensial parsial dalam Persamaan (5) biasanya dilengkapi dengan syarat awal dan syarat batas. Suhu awal dalam batang dapat diberikan oleh $u(x,0) = f(x)$ untuk $0 \leq x \leq L$. Syarat batas dapat diberlakukan pada ujung-ujung batang. Misalnya, suhu pada kedua ujung batang dapat ditetapkan; jadi, $u(0,t) = g_1(t)$ dan $u(L,t) = g_2(t)$ untuk $t \geq 0$, dengan $g_1(t)$ adalah suhu di luar ujung kiri batang pada waktu $t$ dan $g_2(t)$ adalah suhu di luar ujung kanan batang pada waktu $t$. Kemungkinan lain ialah tidak ada difusi pada ujung-ujung batang; jadi, $u_x(0,t) = u_x(L,t) = 0$ untuk $t \geq 0$. Kemungkinan lainnya, laju difusi berbanding lurus dengan perbedaan suhu di dalam dan di luar batang menurut hukum pendinginan Newton. Dengan demikian, $u_x(0,t) = k (u(0,t) - g_1(t))$ dan $u_x(L,t) = -k (u(L,t) - g_2(t))$ untuk $t \geq 0$, dengan $k>0$ suatu konstanta kesebandingan.

Penalaran serupa dapat digunakan untuk menurunkan persamaan panas pada pelat tipis; yaitu, $$u_t = k \big( u_{xx} + u_{yy} \big)$$ untuk $(x,y) \in D$ dan $t > 0$, dengan $k$ konstanta kesebandingan dan $D$ adalah daerah dalam $\displaystyle\mathbb{R}^2$ yang merepresentasikan pelat tipis tersebut.

Persamaan Laplace

Persamaan Laplace diperoleh dari keadaan tunak persamaan gelombang dan persamaan panas; yaitu, kita menganggap fungsi $u$ tidak bergantung pada waktu. Kita memperoleh $$u_{xx} + u_{yy} = 0$$ untuk $(x,y) \in D$, dengan $D$ suatu himpunan terbuka dalam $\displaystyle\mathbb{R}^2$. Solusi persamaan ini disebut “fungsi harmonik.” Catatan kuliah ini akan mengkaji fungsi-fungsi tersebut secara mendalam. Persamaan Laplace biasanya dilengkapi dengan syarat batas. Misalnya, $u=0$ pada batas $\partial D$ dari daerah $D$.

Persamaan Lain

Persamaan diferensial parsial hadir di mana-mana dalam fisika. Beberapa contoh disebutkan dalam Strauss (2008). Di antaranya ialah persamaan Schrödinger, yang mendeskripsikan gerak elektron mengelilingi proton; persamaan Maxwell dalam elektromagnetisme; persamaan Navier–Stokes dalam dinamika fluida; dan persamaan Klein–Gordon dalam fisika partikel. Untuk pengantar mekanika fluida yang sangat baik, kami sangat merekomendasikan Chorin dan Marsden (1979). Sebagaimana ditunjukkan daftar tersebut, dorongan awal untuk mempelajari persamaan diferensial parsial berasal dari fisika. Namun, persamaan diferensial parsial mulai memainkan peran penting dalam bidang-bidang ilmiah lainnya. Untuk pengantar mengenai peran persamaan diferensial parsial (dan persamaan integrodiferensial) dalam biologi matematis, kami merekomendasikan Hoppensteadt (1975). Untuk pengantar yang baik mengenai penerapan persamaan diferensial parsial dalam berbagai bidang sains, ekonomi, dan sebagainya, kami merekomendasikan Salsa (2008).

Latihan yang Disarankan

Kami dapat saja menyusun latihan yang sangat mirip dengan latihan dalam literatur persamaan diferensial parsial. Selain itu, sebagian latihan merupakan soal klasik yang terdapat dalam hampir semua buku ajar persamaan diferensial parsial yang baik, sehingga memang patut disertakan. Karena itu, alih-alih (kembali) menyajikan sejumlah latihan persamaan diferensial parsial, kami memilih untuk mengarahkan pembaca kepada latihan yang terdapat dalam beberapa buku ajar persamaan diferensial parsial yang baik. Pilihan buku kami bersifat arbitrer; banyak buku ajar baik lainnya juga dapat dipilih.

Kami memilih latihan yang dapat diselesaikan pembaca setelah membaca bab terkait dalam catatan kuliah ini, tanpa harus membaca buku yang menjadi sumber latihan tersebut. Kami berusaha menghindari latihan yang secara khusus merujuk pada isi buku ajar sumbernya. Ada beberapa pengecualian, yakni ketika kami memilih latihan yang mencakup materi penting yang tidak dimuat dalam catatan kuliah ini. Seperti halnya buku mana pun mengenai persamaan diferensial parsial, kami tidak mungkin mencakup setiap topik dalam bidang ini. Kami harus membuat pilihan tersendiri.

Beberapa Istilah

Norma-$\mathbf{k}$ dari $\displaystyle\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$ didefinisikan sebagai $$\|\boldsymbol{x}\|_k = \begin{cases} \displaystyle\left(\sum_{i=1}^n |x_i|^k\right)^{1/k} & \quad \text{jika}\ 1 \leq k < \infty \\ \displaystyle\max_{1\leq i \leq n} |x_i| & \quad \text{jika} \ k = \infty \end{cases}$$ Kita menggunakan konvensi bahwa $\|\cdot\|$ menyatakan norma-$\mathbf{2}$ atau norma Euklides $\|\cdot\|_2$.

Bola terbuka berjari-jari $r$ yang berpusat di $\displaystyle\boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n$ dilambangkan dengan $\displaystyle B_r(\boldsymbol{y})$; yaitu,
$\displaystyle B_r(\boldsymbol{y}) = \left\{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n : \left\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y} \right\| < r \right\}$. Notasi ini juga akan digunakan untuk menyatakan bola terbuka dalam sebarang ruang metrik.

Misalkan $V$ suatu himpunan bagian dari $\displaystyle\mathbb{R}^n$ dan $f:V \to \mathbb{R}$. Norma supremum dari $f$ pada $V$ didefinisikan sebagai $\displaystyle\|f\|_{\infty,V} = \sup_{\boldsymbol{x}\in V} |f(\boldsymbol{x})|$. Kita cukup menulis $\|f\|_\infty$ apabila himpunan $V$ yang digunakan dalam definisi supremum sudah jelas dari konteks.

Jika $V$ suatu himpunan terbuka dalam $\displaystyle\mathbb{R}^n$ dan $f:V \to \mathbb{R}$ memiliki keterdiferensialan yang memadai, kita mendefinisikan operator diferensial $\displaystyle\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}}$ untuk $\displaystyle\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{N}^n$ dengan $$\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} f\left(\boldsymbol{x}\right) = \frac{\partial^{|\boldsymbol{\alpha}|} f}{\partial x_1^{\alpha_1} \partial x_2^{\alpha_2} \ldots \partial x_n^{\alpha_n}}\left(\boldsymbol{x}\right)$$ untuk $\boldsymbol{x} \in V$, dengan $\displaystyle|\boldsymbol{\alpha}| = \sum_{j=1}^n \alpha_j$.

Tidak sulit untuk membuktikan bahwa ruang $\displaystyle C^k_b(\overline{V})$ adalah ruang Banach terhadap norma $\displaystyle\|f\|_{k,\infty,V}$.

Juga tidak sulit untuk membuktikan bahwa $\displaystyle C_{bu}^k(\overline{V})$ adalah himpunan bagian tertutup dari $\displaystyle C_b^k\left(\overline{V}\right)$ terhadap norma $\|\cdot\|_{k,\infty,V}$.

Kita mempunyai $\Delta f(\boldsymbol{x}) = \operatorname{div}(\nabla f(\boldsymbol{x}))$ jika $f:V \to \mathbb{R}$ memiliki keterdiferensialan memadai.

Peringatan. Dalam catatan kuliah ini, $\mathbb{N}= \{0,1,2,3, \ldots\}$.

Rujukan yang Disebut dalam Prakata

• D. Henry, Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, 1974.
• W. A. Strauss, Partial Differential Equations: An Introduction, edisi ke-2, John Wiley & Sons, 2008.
• A. J. Chorin dan J. E. Marsden, A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics, Springer-Verlag, Universitext, 1979.
• F. Hoppensteadt, Mathematical Theories of Populations: Demographics, Genetics and Epidemics, SIAM, 1975.
• S. Salsa, Partial Differential Equations in Action: From Modelling to Theory, Springer-Verlag, 2008.