Bukti. Misalkan

$$v(r,\theta,t) = - e^{i\theta} \sqrt{r} \, u(\sqrt{r}\cos(\theta) , \sqrt{r}\sin(\theta), t)$$ untuk $(r,\theta,t) \in \Omega_1 = ]0,k[\times \mathbb{R}\times ]-k,k[$, dengan $k$ cukup kecil sehingga $L(x,y,\mathrm{D})u = f(t)$ berlaku pada citra koordinat $\Omega_1$ di bawah substitusi yang digunakan berikut. Maka $\displaystyle v \in C^1(\Omega_1)$ dan

$$L(x,y,\mathrm{D})u = -2 \frac{\partial{v}}{\partial r} - \frac{i}{r} \frac{\partial{v}}{\partial \theta} + 2i \frac{\partial{v}}{\partial t} = f(t)$$ Identitas ini berlaku pada domain koordinat $\Omega_1$ setelah substitusi $(x,y) = (\sqrt{r} \cos(\theta), \sqrt{r} \sin(\theta))$. Perhatikan bahwa $L(x,y,\mathrm{D})$ dalam koordinat $r,\theta$ yang diberikan oleh $(x,y) = (\sqrt{r} \cos(\theta), \sqrt{r} \sin(\theta))$ adalah

$$L(r,\theta,\mathrm{D}) = 2 \sqrt{r}\, e^{i\theta} \frac{\partial{}}{\partial r} + \frac{i}{\sqrt{r}} \, e^{i\theta} \frac{\partial{}}{\partial \theta} - 2 i \sqrt{r} \, e^{i\theta} \frac{\partial{}}{\partial t} \ .$$

Misalkan

$$V(t,r) = \int_0^{2\pi} v(r,\theta, t) \,\mathrm{d}{\theta}$$ untuk $(t,r) \in \Omega_2 = ]-k,k[\times ]0,k[$. Maka $\displaystyle V\in C^1(\Omega_2)$ dan

$$\begin{aligned} \frac{\partial{V}}{\partial t}(t,r) + i \frac{\partial{V}}{\partial r}(t,r) &= \int_0^{2\pi} \left( i\frac{\partial{v}}{\partial r}(r,\theta,t) - \frac{1}{2r} \frac{\partial{v}}{\partial \theta}(r,\theta, t) + \frac{\partial{v}}{\partial t}(r,\theta,t) \right) \,\mathrm{d}{\theta} \\ &= \frac{1}{2i} \int_0^{2\pi} f(t) \,\mathrm{d}{\theta} = -\pi i f(t) \ , \end{aligned}$$ di sini kita telah menggunakan fakta bahwa $\displaystyle\int_0^{2\pi} \frac{\partial{v}}{\partial \theta}(r,\theta,t) \,\mathrm{d}{\theta} = v(r,\theta,t) \Big|_0^{2\pi} = 0$ karena $v$ periodik dengan periode $2\pi$.

Misalkan $\displaystyle F(t) = \int_0^t f(s)\,\mathrm{d}{s}$ dan $W(t,r) = V(t,r) + \pi\, i F(t)$ untuk $(t,r) \in \Omega_2$. Fungsi $W$ memenuhi persamaan Cauchy–Riemann

$$\frac{\partial{W}}{\partial t} + i \frac{\partial{W}}{\partial r} = 0$$ pada $\Omega_2$. Dengan demikian, $W$ merupakan fungsi holomorfik sebagai fungsi dari $w = t+ r i$ untuk $(t,r) \in \Omega_2$.

Kekontinuan $u$ di dekat titik asal menyiratkan bahwa $v$ meluas secara kontinu dari $\Omega_1$ ke batas $r=0$, dengan $v(0,\theta,t)=0$ untuk $(\theta,t) \in \mathbb{R}\times ]-k,k[$. Oleh karena itu, $V$ meluas secara kontinu dari $\Omega_2$ ke batas tersebut, dan $V(t,0) = 0$ untuk $t \in ]-k,k[$. Dengan demikian, $W$ kontinu pada $\Omega_2$, meluas secara kontinu ke batasnya, dan $W(t,0) = \pi\, i F(t)$ untuk $t\in]-k,k[$; yakni, $\operatorname{Re}W(t,0) = 0$ untuk $t\in]-k,k[$.

Dengan menerapkan prinsip refleksi Schwarz pada $iW$, fungsi

$$\tilde{W}(t,r) = \begin{cases} i W(t,r) & \quad \text{jika} \ r \geq 0 \\[0.5em] - i \overline{W(t,-r)} & \quad \text{jika} \ r < 0 \end{cases}$$ mendefinisikan perluasan holomorfik pada $]-k,k[\times ]-k,k[$ dari $i W$. Dengan demikian, $\tilde{W}(t,0) = - \pi F(t)$ analitik real pada $t = 0$. Akibatnya, $\displaystyle f = \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}{t}}$ analitik real pada $t=0$. ◻