Penguasaan nilai harapan bersyarat dan kernel

Penyelesaian lengkap. Bentuk fungsi dari distribusi bersyarat reguler memberi

\[ Z=\int_T h(y)K(\,\cdot\,,dy) =\mathbb E_{\mathbb P}[h(Y)\mid\mathcal G] \quad\mathbb P\text{-hampir pasti}. \]

Karena \(Z\ge0\) dan \(\mathbb E_{\mathbb P}Z=c<\infty\), kita mempunyai \(\mathbb P(Z=\infty)=0\). Untuk \(A_0=\{Z=0\}\in\mathcal G\),

\[ \mathbb Q(A_0) =\frac1c\int_{A_0}h(Y)\,d\mathbb P =\frac1c\int_{A_0}Z\,d\mathbb P =0. \]

Selain itu, \(\mathbb Q\ll\mathbb P\), sehingga \(\mathbb Q(Z=\infty)=0\). Jadi \(\mathbb Q(D^c)=0\).

Untuk \(\omega\in D\), pemetaan

\[ B\longmapsto H_B(\omega) =\int_T\mathbf1_B(y)h(y)K(\omega,dy) \]

adalah ukuran hingga pada \((T,\mathcal T)\) dengan massa total \(Z(\omega)\). Maka \(B\mapsto H_B(\omega)/Z(\omega)\) adalah ukuran peluang. Untuk \(\omega\notin D\), pemetaan itu diganti oleh ukuran peluang utuh \(\rho\). Untuk setiap \(B\), lemma integral kernel menunjukkan bahwa \(H_B\) dan \(Z\) adalah \(\mathcal G\)-terukur. Karena \(D\in\mathcal G\),

\[ K^h(\omega,B) =\mathbf1_D(\omega)\frac{H_B(\omega)}{Z(\omega)} +\mathbf1_{D^c}(\omega)\rho(B) \]

terukur dalam \(\omega\). Jadi \(K^h\) adalah kernel probabilitas.

Sekarang ambil \(G\in\mathcal G\) dan \(B\in\mathcal T\). Karena \(\mathbf1_GK^h(\,\cdot\,,B)\) terukur terhadap \(\mathcal G\) dan terbatas, sifat nilai harapan bersyarat memberi

\[ \begin{aligned} \int_GK^h(\omega,B)\,\mathbb Q(d\omega) &=\frac1c\, \mathbb E_{\mathbb P} [\mathbf1_GK^h(\,\cdot\,,B)h(Y)]\\ &=\frac1c\, \mathbb E_{\mathbb P} [\mathbf1_GK^h(\,\cdot\,,B)Z]. \end{aligned} \]

Pada \(D\), hasil kali terakhir sama dengan \(H_B\). Pada \(\{Z=0\}\), \(0\le H_B\le Z\) memberi \(H_B=0\); himpunan \(\{Z=\infty\}\) adalah \(\mathbb P\)-nol. Oleh sebab itu,

\[ \begin{aligned} \int_GK^h(\omega,B)\,\mathbb Q(d\omega) &=\frac1c\int_GH_B\,d\mathbb P\\ &=\frac1c\int_G\mathbf1_{\{Y\in B\}}h(Y)\,d\mathbb P\\ &=\mathbb Q(G\cap\{Y\in B\}). \end{aligned} \]

Baris kedua kembali memakai bentuk fungsi dari \(K\), kini pada \(h\mathbf1_B\). Identitas tersebut membuktikan bahwa \(K^h\) adalah distribusi bersyarat reguler yang diminta.

Terakhir, untuk \(f\) dalam soal, definisikan

\[ J(\omega)=\int_T|f(y)|h(y)K(\omega,dy). \]

Karena

\[ \mathbb E_{\mathbb P}[|f(Y)|h(Y)] =c\,\mathbb E_{\mathbb Q}|f(Y)|<\infty, \]

\(J\) hingga \(\mathbb P\)-hampir pasti. Jadi \(D_f=D\cap\{J<\infty\}\) mempunyai komplemen \(\mathbb Q\)-nol. Fungsi

\[ R_f(\omega)= \begin{cases} \displaystyle \frac{\int_Tf(y)h(y)K(\omega,dy)}{Z(\omega)}, &\omega\in D_f,\\[2ex] 0,&\omega\notin D_f \end{cases} \]

terdefinisi di seluruh \(\Omega\) dan terukur terhadap \(\mathcal G\). Argumen integral di atas, mula-mula untuk \(f^+\) dan \(f^-\), menunjukkan bahwa untuk setiap \(G\in\mathcal G\),

\[ \int_GR_f\,d\mathbb Q=\int_Gf(Y)\,d\mathbb Q. \]

Karena itu \(R_f\) adalah versi dari \(\mathbb E_{\mathbb Q}[f(Y)\mid\mathcal G]\). Nilai nol di \(D_f^c\) hanyalah pilihan versi; hukum \(\rho\) dan nilai fungsi di sana tidak dipaksa oleh \(\mathbb Q\).

Penyelesaian lengkap. Pertama, untuk \(x,z\in\mathbb R\),

\[ \int_{\mathbb R} \varphi_a(y-x)\varphi_b(z-y)\,dy =\varphi_r(z-x), \qquad r^2=a^2+b^2, \]

karena ruas kiri adalah kepadatan jumlah dua peubah Gaussian independen bervarians \(a^2\) dan \(b^2\). Tonelli lalu memberi, untuk setiap \(C\in\mathcal B(\mathbb R^2)\),

\[ \begin{aligned} \mathbb P((X_0,X_2)\in C) &=\int_{\mathbb R}\int_{\mathbb R} \mathbf1_C(x,z)\mu(dx) \left[\int_{\mathbb R} \varphi_a(y-x)\varphi_b(z-y)\,dy\right]dz\\ &=\int_C\mu(dx)\varphi_r(z-x)\,dz. \end{aligned} \]

Ini membuktikan rumus untuk \(\nu\).

Untuk faktor jembatan, perhitungan kuadrat lengkap memberi

\[ \frac{(y-x)^2}{a^2}+\frac{(z-y)^2}{b^2} =\frac{(z-x)^2}{r^2} +\frac{(y-m(x,z))^2}{v}. \]

Selain itu, \(r\sqrt v=ab\). Kesamaan eksponen dan konstanta normalisasi memberi identitas

\[ \varphi_a(y-x)\varphi_b(z-y) =\varphi_r(z-x)\varphi_{\sqrt v}(y-m(x,z)). \]

Untuk setiap \((x,z)\), \(A\mapsto B((x,z),A)\) adalah hukum Gaussian dan karenanya ukuran peluang. Untuk \(A\) tetap, peta

\[ (x,z)\longmapsto \int_{\mathbb R}\mathbf1_A(y) \varphi_{\sqrt v}(y-m(x,z))\,dy \]

Borel karena integrannya Borel nonnegatif dan integral berparameter mempertahankan keterukuran. Jadi \(B\) adalah kernel Borel.

Ambil \(C\in\mathcal B(\mathbb R^2)\) dan \(A\in\mathcal B(\mathbb R)\). Identitas faktor serta Tonelli memberi

\[ \begin{aligned} \mathbb P((X_0,X_2)\in C,\ X_1\in A) &=\int_C\int_A \mu(dx)\, \varphi_a(y-x)\varphi_b(z-y)\,dy\,dz\\ &=\int_C \left[\int_A \varphi_{\sqrt v}(y-m(x,z))\,dy\right] \mu(dx)\varphi_r(z-x)\,dz\\ &=\int_C B((x,z),A)\,\nu(dx,dz). \end{aligned} \]

Karena itu \(B\) merupakan distribusi bersyarat reguler \(X_1\) dengan syarat \((X_0,X_2)\).

Rata-rata dan varians hukum \(N(m(x,z),v)\) langsung menghasilkan

\[ \mathbb E[X_1\mid\sigma(X_0,X_2)] =m(X_0,X_2), \qquad \operatorname{Var}(X_1\mid\sigma(X_0,X_2)) =v \]

hampir pasti. Momen kedua \(\mu\) yang hingga memastikan semua peubah yang dipakai dalam identitas momen ini integrabel sebagaimana diperlukan.

Karena \(X_2\mid X_0\sim N(X_0,r^2)\),

\[ \begin{aligned} \mathbb E[m(X_0,X_2)\mid X_0] &=\frac{b^2X_0+a^2\mathbb E[X_2\mid X_0]}{r^2}\\ &=\frac{(a^2+b^2)X_0}{r^2} =X_0. \end{aligned} \]

Ini adalah verifikasi eksplisit hukum menara. Untuk varians, \(v\) konstan dan \(m(X_0,X_2)\), sebagai fungsi dari \(X_2\) dengan \(X_0\) tetap, mempunyai koefisien \(a^2/r^2\). Maka

\[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(X_1\mid X_0) &=v+\operatorname{Var}(m(X_0,X_2)\mid X_0)\\ &=\frac{a^2b^2}{r^2} +\frac{a^4}{r^4}\operatorname{Var}(X_2\mid X_0)\\ &=\frac{a^2b^2}{r^2}+\frac{a^4}{r^2} =a^2. \end{aligned} \]

Jadi kernel jembatan mempertahankan baik hukum menara maupun dekomposisi varians ketika titik ujung kanan diintegrasikan kembali.