Jika \(x\sim y\) tetapi \(f(x)\ne f(y)\text{,}\) sifat \(T_0\) memberi himpunan buka di \(Y\) yang membedakan kedua citra. Prapetanya membedakan \(x\) dan \(y\text{,}\) sebuah kontradiksi. Karena itu rumus \(\bar f([x])=f(x)\) terdefinisi baik. Kesetaraan \(f=\bar f\circ q\) dan sifat pemetaan kuosien menunjukkan bahwa \(\bar f\) kontinu. Surjektivitas \(q\) menjamin keunikan. Sebaliknya, komposisi setiap pemetaan kontinu \(\bar f\) dengan \(q\) jelas kontinu. Kedua konstruksi saling invers.