Andaikan \(\overline{\{x\}}=\overline{\{y\}}\text{.}\) Karena \(x\in\overline{\{x\}}\text{,}\) kita memperoleh \(x\in\overline{\{y\}}\text{;}\) maka setiap lingkungan buka \(x\) memuat \(y\text{.}\) Dengan menukar peran titik, setiap lingkungan buka \(y\) memuat \(x\text{.}\) Jadi kedua titik tak terbedakan. Dalam ruang \(T_0\) ini memaksa \(x=y\text{,}\) sehingga pemetaan injektif.

Sebaliknya, jika \(X\) tidak \(T_0\text{,}\) ada \(x\ne y\) yang tak terbedakan. Untuk setiap \(z\text{,}\) suatu lingkungan buka \(z\) memuat \(x\) tepat ketika memuat \(y\text{.}\) Jadi \(z\in\overline{\{x\}}\) tepat ketika \(z\in\overline{\{y\}}\text{,}\) sehingga kedua penutup sama dan pemetaan tidak injektif.