Misalkan \(x\ne y\) dalam hasil kali. Pilih \(i\) dengan \(x_i\ne y_i\text{.}\) Karena \(X_i\) Hausdorff, ada himpunan buka saling lepas \(U,V\subseteq X_i\) dengan \(x_i\in U\) dan \(y_i\in V\text{.}\) Prapeta \(\pi_i^{-1}(U)\) dan \(\pi_i^{-1}(V)\) terbuka, saling lepas, dan masing-masing memuat \(x\) serta \(y\text{.}\) Jadi hasil kali Hausdorff.