Regularitas dan basis terhitung membuat \(X\) normal melalui konstruksi diagonal pasangan basis. Untuk setiap pasangan basis \(\overline U\subseteq V\text{,}\) Lema Urysohn memberi fungsi kontinu yang nol pada \(\overline U\) dan satu di luar \(V\text{.}\) Pasangan-pasangan itu terhitung, jadi fungsi dapat didaftarkan sebagai \(f_n\text{.}\) Jika \(x\ne y\text{,}\) gunakan \(T_1\text{,}\) regularitas, dan basis untuk memilih \(x\in U\) serta \(\overline U\subseteq V\subseteq X\setminus\{y\}\text{;}\) koordinat terkait membedakan \(x\) dan \(y\text{.}\) Untuk setiap \(x\in O\) terbuka, pilih \(x\in U\) dan \(\overline U\subseteq V\subseteq O\text{;}\) prapeta \([0,1)\) pada koordinat terkait adalah lingkungan \(x\) di dalam \(O\text{,}\) sehingga fungsi-fungsi memulihkan topologi. Jumlah berbobot adalah metrik karena koordinat memisahkan titik, dan teorema jumlah pseudometrik menunjukkan topologinya tepat topologi awal fungsi-fungsi itu, yaitu topologi asli \(X\text{.}\)