Andaikan \(U_n\) basis lingkungan terhitung di nol. Pilih lingkungan basis hasil kali \(B_n\subseteq U_n\text{;}\) setiap \(B_n\) membatasi himpunan koordinat berhingga \(F_n\text{.}\) Gabungan \(F=\bigcup_nF_n\) terhitung. Pilih \(j\in I\setminus F\text{.}\) Himpunan \(W=\{x:x_j<1/2\}\) adalah lingkungan nol. Karena \(B_n\) tidak membatasi koordinat \(j\text{,}\) ia memuat titik dengan \(x_j=1\text{,}\) jadi \(B_n\nsubseteq W\) untuk semua \(n\text{.}\) Ini bertentangan dengan sifat basis lingkungan. Ruang metrik selalu terhitung pertama, maka kubus itu tidak dapat dimetrisasi.