Setiap \(p_n\) pseudometrik dan keluarga itu memisahkan titik, jadi jumlah berbobot adalah metrik. Bola \(d\) yang cukup kecil memaksa koordinat tertentu dekat karena \(2^{-n}p_n\leq d\text{.}\) Sebaliknya, untuk radius \(\varepsilon\text{,}\) pilih \(N\) dengan \(\sum_{n>N}2^{-n}<\varepsilon/2\text{,}\) lalu batasi koordinat pertama sampai ke-\(N\) sehingga jumlah awal kurang dari \(\varepsilon/2\text{.}\) Lingkungan silinder hasil kali itu termuat dalam bola \(d\text{.}\) Maka kedua topologi sama.