Jika \(z\in B(x,r)\cap B(y,s)\text{,}\) pilih \(t\) lebih kecil dari \(r-d(x,z)\) dan \(s-d(y,z)\text{.}\) Untuk \(w\in B(z,t)\text{,}\) ketaksamaan segitiga menempatkan \(w\) dalam kedua bola, sehingga syarat basis terpenuhi. Jika \(x\ne y\text{,}\) tetapkan \(r=d(x,y)/3\text{.}\) Jika suatu \(z\) berada dalam kedua bola \(B(x,r)\) dan \(B(y,r)\text{,}\) maka \(d(x,y)<2r=2d(x,y)/3\text{,}\) kontradiksi. Jadi ruang Hausdorff.