Jika \(F\) tertutup dan \(K\) lingkungan kompak \(x\in F\text{,}\) maka \(K\cap F\) tertutup dalam \(K\text{,}\) sehingga kompak, dan memuat lingkungan relatif \(F\) dari \(x\text{.}\) Jika \(U\) terbuka dan \(x\in U\text{,}\) teorema penyusutan pada ruang Hausdorff memberi \(V\) terbuka dengan \(x\in V\subseteq\overline V\subseteq U\) dan \(\overline V\) kompak. Penutup itu menjadi lingkungan kompak \(x\) dalam \(U\text{.}\)