Setiap \(d\in D\) terbuka sebagai singleton. Dua titik di \(D\) dipisahkan oleh singleton; titik \(d\) dan \(\infty\) dipisahkan oleh \(\{d\}\) serta \(\alpha D\setminus\{d\}\text{.}\) Jadi ruang Hausdorff, bahkan kompak Hausdorff. Kekompakan mengikuti karena setiap selimut buka memuat satu anggota yang mencakup \(\infty\) dan semua kecuali berhingga banyak titik \(D\text{;}\) sisa berhingga memerlukan berhingga banyak anggota. Ruang kompak selalu kompak lokal.

Jika ada basis lokal terhitung \((U_n)\) di \(\infty\text{,}\) setiap komplemen \(D\setminus U_n\) berhingga. Gabungan semua komplemen itu terhitung, maka pilih \(d\in D\) di luarnya. Lingkungan \(\alpha D\setminus\{d\}\) tidak memuat satu pun \(U_n\text{,}\) kontradiksi. Jadi ruang tidak terhitung pertama dan tidak metrik. Setiap himpunan rapat harus memuat semua titik terisolasi \(D\text{;}\) karena \(D\) takterhitung, ruang tidak separabel.

Dari bentuk lingkungan \(\infty\text{,}\) jaring \((d_\lambda)\) menuju \(\infty\) tepat bila untuk setiap himpunan berhingga \(F\subseteq D\text{,}\) akhirnya \(d_\lambda\notin F\text{.}\) Sekarang ambil \(f:\alpha D\to\{0,1\}\text{.}\) Kekontinuan di \(\infty\) ekuivalen dengan adanya lingkungan kofinit tempat \(f\) bernilai konstan \(f(\infty)\text{.}\) Jadi \(f\) hanya berbeda dari konstanta itu pada berhingga banyak titik \(D\text{;}\) syarat ini juga cukup karena semua titik \(D\) terisolasi.

Domain \(\alpha D\) kompak dan kodomain diberi metrik diskret. Karena itu topologi kompak-terbuka pada ruang fungsi sama dengan topologi seragam. Dua fungsi berbeda mempunyai jarak supremum satu, sehingga bola berjari-jari kurang dari satu mengisolasi setiap fungsi. Maka \(C_k(\alpha D,\{0,1\})\) diskret. Sebaliknya, topologi titik demi titik tidak diskret: lingkungan yang menguji hanya berhingga banyak koordinat masih memungkinkan perubahan pada satu titik lain di \(D\text{.}\) Audit ini menggunakan seluruh rantai separasi, keterhitungan, jaring, kekompakan lokal, metrisasi, dan ruang fungsi.