Setiap faktor \([0,1]\) kompak Hausdorff. Teorema Tychonoff memberi kekompakan hasil kali, sedangkan dua titik berbeda mempunyai koordinat \(i\) yang berbeda dan dapat dipisahkan oleh prapeta dua interval terpisah di bawah proyeksi \(\pi_i\text{.}\) Proyeksi kontinu menurut definisi topologi hasil kali, jadi \(K\) Hausdorff.

Jika \(I\) berhingga atau terhitung, enumerasi koordinat dan metrik deret berbobot seperti pada Masalah 4 memetrisasi \(K\text{.}\) Sekarang andaikan \(I\) takterhitung dan \((U_n)\) basis lokal terhitung di nol. Perkecil setiap \(U_n\) menjadi silinder dasar \(V_n\) yang hanya membatasi himpunan koordinat berhingga \(F_n\text{.}\) Gabungan \(F=\bigcup_nF_n\) terhitung, jadi pilih \(j\in I\setminus F\text{.}\) Lingkungan \(W=\{x:x_j<1/2\}\) memuat nol. Tidak satu pun \(V_n\) termuat dalam \(W\text{,}\) karena koordinat \(j\) bebas. Ini bertentangan dengan sifat basis lokal; maka \(K\) tidak terhitung pertama dan tidak mungkin metrik.

Topologi kotak mengizinkan pembatasan semua koordinat sekaligus. Untuk \(I\) takhingga, subruang \(\{0,1\}^I\) tertutup dalam kubus kotak, tetapi diskret: singleton setiap titik adalah irisan dengan kotak \(\prod_iU_i\) yang memilih lingkungan kecil dari koordinat nol atau satu. Subruang ini takhingga dan mempunyai selimut terbuka oleh semua singleton tanpa subselimut berhingga. Jadi kubus kotak tidak kompak. Karena itu “hasil kali” pada teorema kekompakan dan hukum universal harus berarti topologi hasil kali, bukan topologi kotak.