Untuk \(H\) kontinu, definisikan \(\widehat H(t)(x)=H(t,x)\text{.}\) Setiap irisan \(H_t\) kontinu. Versi kompak-terbuka hukum eksponensial, dengan variabel yang dikurri yaitu \(X\) kompak lokal Hausdorff, menyatakan bahwa pemetaan \(H\mapsto\widehat H\) membawa fungsi kontinu pada produk ke fungsi kontinu menuju \(C_k(X,Y)\text{.}\) Jadi \(\widehat H\) adalah lintasan dari \(H_0\) ke \(H_1\text{.}\)

Sebaliknya, jika \(\gamma:[0,1]\to C_k(X,Y)\) kontinu, pemetaan \(\gamma\times\operatorname{id}_X\) dari \([0,1]\times X\) ke \(C_k(X,Y)\times X\) kontinu. Karena \(X\) kompak lokal Hausdorff, evaluasi bersama \(\operatorname{ev}(f,x)=f(x)\) kontinu. Komposisi \(H=\operatorname{ev}\circ(\gamma\times\operatorname{id}_X)\) kontinu dan memenuhi \(H(t,x)=\gamma(t)(x)\text{.}\) Kedua konstruksi saling invers. Hipotesis pada \(X\) bukan hiasan: ia menjamin kekontinuan evaluasi dan bentuk hukum eksponensial yang dipakai.