Untuk semua \(f\in\mathcal F\text{,}\) berlaku \(|f(x)|=|f(x)-f(x_0)|\le d(x,x_0)\le\operatorname{diam}K\text{.}\) Jadi bagi setiap \(x\text{,}\) himpunan nilai \(\{f(x):f\in\mathcal F\}\) mempunyai penutup kompak di \(\mathbb R\text{.}\) Selain itu, bagi \(\varepsilon>0\text{,}\) pilihan \(\delta=\varepsilon\) bekerja serentak untuk seluruh keluarga karena semua fungsi 1-Lipschitz. Maka \(\mathcal F\) ekukontinu.

Teorema Arzelà–Ascoli memberi bahwa penutup \(\mathcal F\) kompak dalam topologi kompak-terbuka, yang pada domain kompak sama dengan topologi seragam. Jika \(f_n\to f\) seragam dan setiap \(f_n\in\mathcal F\text{,}\) maka \(f(x_0)=\lim f_n(x_0)=0\text{.}\) Untuk \(x,y\in K\text{,}\) ambil limit pada \(|f_n(x)-f_n(y)|\le d(x,y)\) untuk memperoleh \(|f(x)-f(y)|\le d(x,y)\text{.}\) Jadi \(f\in\mathcal F\) dan keluarga itu tertutup. Penutup kompaknya sama dengan dirinya; maka \(\mathcal F\) kompak.