Andaikan dahulu \(f_\lambda\to f\) kompak-terbuka. Tetapkan kompak \(K\) dan \(\varepsilon>0\text{.}\) Untuk tiap \(x\in K\text{,}\) pilih lingkungan relatif \(W_x\) sehingga \(f(W_x)\) termuat dalam bola berjari-jari \(\varepsilon/3\) di sekitar \(f(x)\text{.}\) Ruang \(K\) kompak Hausdorff; susutkan subselimut berhingga menjadi kompak \(K_1,\ldots,K_n\) yang masih menutupi \(K\text{,}\) dengan \(K_i\subseteq W_{x_i}\text{.}\) Lingkungan kompak-terbuka \(\bigcap_i[K_i,B(f(x_i),2\varepsilon/3)]\) memaksa \(d(f_\lambda(x),f(x))<\varepsilon\) untuk semua \(x\in K\) pada akhirnya.

Sebaliknya, ambil lingkungan subbasis \([K,U]\) yang memuat \(f\text{.}\) Himpunan \(f(K)\) kompak dan termuat dalam buka \(U\text{,}\) sehingga ada \(\delta>0\) dengan lingkungan \(\delta\) dari \(f(K)\) termuat dalam \(U\text{.}\) Kekonvergenan seragam pada \(K\) memberi \(\sup_{x\in K}d(f_\lambda(x),f(x))<\delta\) pada akhirnya, maka \(f_\lambda(K)\subseteq U\text{.}\) Irisan berhingga subbasis diperlakukan serentak, jadi jaring konvergen kompak-terbuka.