Jika \(\alpha X\) dapat dimetrisasi, ia kompak metrik. Setiap ruang kompak metrik terhitung kedua: untuk setiap \(n\text{,}\) ambil subselimut berhingga dari bola berjari-jari \(1/n\text{,}\) lalu gabungkan semua pusat dan radius rasional. Karena keterhitungan kedua diwarisi subruang, \(X\) terhitung kedua.

Sebaliknya, ambil basis terhitung \(\mathcal B\) untuk \(X\text{.}\) Kekompakan lokal dan regularitas ruang Hausdorff kompak lokal memungkinkan kita memperhalusnya menjadi basis terhitung \((V_n)\) dengan setiap \(\overline{V_n}\) kompak. Semua gabungan berhingga \(K_F=\bigcup_{n\in F}\overline{V_n}\) kompak, dan komplemennya \(\{\infty\}\cup(X\setminus K_F)\) membentuk basis terhitung di \(\infty\text{:}\) setiap himpunan kompak \(K\subseteq X\) ditutupi berhingga banyak \(V_n\text{,}\) sehingga termuat dalam suatu \(K_F\text{.}\) Bersama \(\mathcal B\text{,}\) ini memberi basis terhitung untuk \(\alpha X\text{.}\) Kompaktifikasi satu titik itu kompak Hausdorff, sehingga reguler dan \(T_1\text{.}\) Teorema metrisasi Urysohn sekarang berlaku dan memberi metrik pada \(\alpha X\text{.}\)