Ambil \(x=(x_i)\) dalam hasil kali yang kompak lokal. Ada lingkungan dasar \(U=\prod_iU_i\) dari \(x\text{,}\) dengan \(U_i=X_i\) di luar himpunan berhingga \(F\text{,}\) yang termuat dalam suatu himpunan kompak \(K\text{.}\) Untuk \(i\notin F\text{,}\) proyeksi \(U\) ke \(X_i\) adalah seluruh \(X_i\text{;}\) karena \(\pi_i(K)\) kompak dan memuat \(X_i\text{,}\) faktor itu kompak. Untuk sembarang \(i\text{,}\) tetapkan semua koordinat lain pada \(x_j\text{.}\) Irisan potongan koordinat ini dengan \(K\) kompak karena ruang Hausdorff membuat singleton tertutup, dan ia memuat lingkungan \(U_i\) dari \(x_i\text{.}\) Jadi setiap faktor kompak lokal.

Sebaliknya, andaikan faktor nonkompak hanya terdapat pada himpunan berhingga \(F\text{.}\) Untuk \(i\in F\text{,}\) pilih lingkungan \(V_i\) dari \(x_i\) dengan penutup kompak \(K_i\text{.}\) Untuk \(i\notin F\text{,}\) ambil \(V_i=X_i=K_i\text{,}\) yang kompak. Silinder \(V=\prod_iV_i\) adalah lingkungan \(x\) dan penutupnya termuat dalam \(\prod_iK_i\text{.}\) Teorema Tychonoff—dan dengan demikian bentuk aksioma pilihan yang dipakainya—menyatakan hasil kali semua \(K_i\) kompak. Maka hasil kali asal kompak lokal.