Fungsi \(d\) adalah metrik karena setiap suku merupakan pseudometrik, deret konvergen seragam, dan \(d(x,y)=0\) memaksa semua koordinat sama. Ambil bola \(d\) berjari-jari \(\varepsilon\text{.}\) Pilih \(N\) sehingga \(\sum_{n>N}2^{-n}<\varepsilon/2\text{,}\) lalu batasi berhingga banyak koordinat pertama cukup ketat agar jumlah kepalanya kurang dari \(\varepsilon/2\text{.}\) Silinder hasil kali yang diperoleh termuat dalam bola. Sebaliknya, bagi silinder yang membatasi koordinat dalam himpunan berhingga \(F\text{,}\) pilih bola cukup kecil sehingga setiap suku berbobot untuk \(n\in F\) memaksa batas koordinat yang ditentukan. Jadi topologinya sama.

Himpunan \(W=\prod_n(-1/n,1/n)\) terbuka kotak. Setiap lingkungan hasil kali nol membiarkan semua kecuali berhingga banyak koordinat bebas, maka tidak termuat dalam \(W\text{;}\) jadi kehalusannya ketat. Andaikan \((U_k)\) basis lokal kotak di nol dan, setelah memperkecil, tulis \(U_k=\prod_n(-a_{k,n},a_{k,n})\) dengan semua \(a_{k,n}>0\text{.}\) Bentuk \(V=\prod_n(-a_{n,n}/2,a_{n,n}/2)\text{.}\) Ini lingkungan kotak nol, tetapi untuk setiap \(k\text{,}\) \(U_k\) tidak termuat dalam \(V\) karena koordinat ke-\(k\)-nya lebih lebar. Kontradiksi; topologi kotak tidak terhitung pertama.