Misalkan \(\mathcal N(x)\) himpunan lingkungan \(x\text{,}\) dan definisikan \(U\preceq V\) bila \(V\subseteq U\text{.}\) Dua lingkungan mempunyai batas atas bersama berupa irisannya, sehingga himpunan indeks ini terarah. Karena \(x\in\overline A\text{,}\) setiap \(U\) memotong \(A\text{;}\) pilih \(a_U\in A\cap U\text{.}\) Untuk lingkungan \(W\) dari \(x\text{,}\) semua indeks \(U\succeq W\) memenuhi \(U\subseteq W\text{,}\) maka \(a_U\in W\text{.}\) Jadi jaring itu konvergen ke \(x\text{.}\)

Jika \((B_n)\) basis lokal terhitung, tetapkan \(V_n=B_1\cap\cdots\cap B_n\) dan pilih \(a_n\in A\cap V_n\text{.}\) Untuk setiap lingkungan \(W\text{,}\) ada \(k\) dengan \(B_k\subseteq W\text{;}\) semua \(n\ge k\) memenuhi \(a_n\in V_n\subseteq B_k\subseteq W\text{.}\) Maka \(a_n\to x\text{.}\) Tanpa basis lokal terhitung, sebuah barisan hanya menguji terhitung banyak tahap lingkungan. Contohnya, pada ordinal \([0,\omega_1]\text{,}\) titik \(\omega_1\) berada dalam penutup \([0,\omega_1)\text{,}\) tetapi tidak ada barisan ordinal terhitung yang konvergen kepadanya karena supremum terhitung masih di bawah \(\omega_1\text{.}\)