Andaikan \(x\sim y\text{.}\) Setiap lingkungan buka \(x\) juga merupakan lingkungan \(y\text{,}\) maka memuat \(y\text{;}\) jadi \(x\le y\text{.}\) Dengan menukar keduanya diperoleh \(y\le x\text{.}\) Sebaliknya, jika kedua relasi itu berlaku, setiap himpunan buka yang memuat salah satu titik memuat titik lain, sehingga daftar lingkungan keduanya sama.

Jika kelas \([x]\) dan \([y]\) berbeda, ada himpunan buka \(U\) yang memuat tepat salah satu dari \(x,y\text{.}\) Karena anggota satu kelas mempunyai keanggotaan yang sama pada setiap himpunan buka, \(U\) adalah gabungan kelas-kelas. Maka \(q(U)\) terbuka dalam topologi kuosien dan membedakan kedua kelas; jadi \(X_0\) adalah \(T_0\text{.}\)

Bila \(x\sim y\text{,}\) kekontinuan \(f\) membuat \(f(x)\) dan \(f(y)\) mempunyai lingkungan yang sama: prapeta setiap lingkungan salah satunya memuat keduanya. Karena \(Y\) adalah \(T_0\text{,}\) \(f(x)=f(y)\text{.}\) Jadi \(\bar f([x])=f(x)\) terdefinisi baik. Persamaan \(f=\bar f\circ q\) berlaku, dan sifat universal topologi kuosien memberi kekontinuan \(\bar f\text{.}\) Surjektivitas \(q\) memberi keunikan.