Karena \(X\) kompak, diameternya \(D\) berhingga. Untuk setiap \(x\in X\) dan setiap fungsi dalam keluarga, \(|f(x)|\le|f(x_0)|+|f(x)-f(x_0)|\le M+LD\text{.}\) Jadi keluarga dibatasi seragam. Jika \(\varepsilon>0\) dan \(L>0\text{,}\) ambil \(\delta=\varepsilon/L\text{;}\) maka \(d(x,y)<\delta\) mengakibatkan \(|f(x)-f(y)|<\varepsilon\) secara seragam terhadap \(f\text{.}\) Keluarga itu ekukontinu. Teorema Arzelà–Ascoli memberi penutup kompak dalam metrik supremum. Jika \(L=0\text{,}\) semua fungsi konstan dan kesimpulannya langsung berlaku.