Jika \(F\) kontinu dan \(\widehat F(z_0)\in[K,U]\text{,}\) maka \(F(\{z_0\}\times K)\subseteq U\text{.}\) Untuk setiap \(x\in K\text{,}\) kontinuitas memberi lingkungan produk yang dipetakan ke \(U\text{;}\) pilih subpenutup berhingga atas \(K\) dan irisankan lingkungan faktor \(Z\text{.}\) Diperoleh lingkungan \(W\) dari \(z_0\) dengan \(F(W\times K)\subseteq U\text{,}\) jadi \(\widehat F\) kontinu. Jika \(G\) kontinu, maka \(G^\vee=\operatorname{ev}\circ(G\times\operatorname{id}_X)\) kontinu. Akhirnya, \((\widehat F)^\vee(z,x)=F(z,x)\) dan \(\widehat{G^\vee}(z)(x)=G(z)(x)\text{,}\) sehingga konstruksi itu saling invers.