Ambil \((f,x)\) dan lingkungan buka \(U\) dari \(f(x)\text{.}\) Himpunan \(f^{-1}(U)\) terbuka dan memuat \(x\text{.}\) Sifat kompak lokal Hausdorff memberi himpunan buka \(V\) dengan \(x\in V\subseteq\overline V\subseteq f^{-1}(U)\) dan \(\overline V\) kompak. Karena itu \(f\in[\overline V,U]\text{.}\) Jika \((g,v)\in[\overline V,U]\times V\text{,}\) maka \(v\in\overline V\) dan \(g(v)\in U\text{.}\) Jadi prapeta setiap lingkungan \(U\) memuat lingkungan produk dari \((f,x)\text{,}\) yang membuktikan kekontinuan.