Setiap interval basis \([a,b)\) yang tak kosong memuat rasional, jadi \(\mathbb Q\) padat. Andaikan \(\mathcal B\) basis terhitung. Untuk setiap \(x\in\mathbb R\text{,}\) pilih \(B_x\in\mathcal B\) dengan \(x\in B_x\subseteq[x,x+1)\text{.}\) Jika \(x<y\) dan \(B_x=B_y\text{,}\) maka \(x\in B_y\subseteq[y,y+1)\text{,}\) yang mustahil. Jadi \(x\mapsto B_x\) injektif dari himpunan tak terhitung \(\mathbb R\) ke \(\mathcal B\text{,}\) bertentangan dengan asumsi.