Pemetaan \(x\mapsto(x,\sin(1/x))\) kontinu pada \((0,1]\text{,}\) sehingga grafik \(G\) terhubung. Setiap titik \((0,y)\) dengan \(-1\leq y\leq1\) adalah titik limit grafik, dan penutupan \(G\) tepat \(T\text{.}\) Penutupan himpunan terhubung terhubung, jadi \(T\) terhubung.

Andaikan lintasan \(p(t)=(u(t),v(t))\) berawal pada ruas vertikal dan berakhir pada grafik. Biarkan \(t_0\) batas terakhir dari bagian awal saat \(u(t)=0\text{.}\) Ada deret \(t_n\downarrow t_0\) dengan \(u(t_n)>0\) dan \(u(t_n)\to0\text{.}\) Pada titik-titik itu \(v(t_n)=\sin(1/u(t_n))\text{.}\) Kekontinuan lintasan dan peralihan melalui semua nilai kecil positif memaksa nilai ini berosilasi mendekati \(1\) dan \(-1\) secara arbitrer dekat \(t_0\text{,}\) sehingga \(v(t)\) tidak mempunyai limit di \(t_0\text{.}\) Kontradiksi. Jadi kedua bagian berada dalam komponen lintasan berbeda.