Andaikan \(X\) lokal terhubung lintasan, \(O\) buka, dan \(P\) komponen lintasan \(O\text{.}\) Untuk \(p\in P\text{,}\) ada lingkungan buka terhubung lintasan \(V\) dengan \(p\in V\subseteq O\text{.}\) Karena \(V\) bertemu \(P\text{,}\) maksimalitas komponen memberi \(V\subseteq P\text{.}\) Maka setiap titik \(P\) mempunyai lingkungan buka dalam \(P\text{,}\) jadi \(P\) terbuka.

Sebaliknya, ambil titik \(x\) dan lingkungan \(N\text{.}\) Pilih himpunan buka \(O\) dengan \(x\in O\subseteq N\text{.}\) Komponen lintasan \(P\) dari \(O\) yang memuat \(x\) terbuka menurut hipotesis, terhubung lintasan menurut definisi, dan memenuhi \(x\in P\subseteq N\text{.}\) Jadi \(X\) lokal terhubung lintasan.