Karena pembatasan \(f|_P\) kontinu dan \(P\) terhubung lintasan, \(f(P)\) terhubung lintasan. Pilih \(p\in P\) dan biarkan \(Q=PC_Y(f(p))\text{.}\) Semua titik \(f(P)\) dapat dihubungkan ke \(f(p)\text{,}\) sehingga \(f(P)\subseteq Q\) dan karenanya \(P\subseteq f^{-1}(Q)\text{.}\) Jika \(X\) terhubung lintasan, ambil \(P=X\text{.}\) Maka \(f(X)\subseteq Q\text{;}\) karena \(f\) surjektif, \(Y=f(X)=Q\text{,}\) sehingga \(Y\) terhubung lintasan.