Ambil titik \(x\) dan lingkungan \(N\text{.}\) Keterhubungan lintasan lokal memberi lingkungan buka \(U\) dengan \(x\in U\subseteq N\) dan \(U\) terhubung lintasan. Setiap ruang terhubung lintasan terhubung, sehingga \(U\) adalah lingkungan buka terhubung di dalam \(N\text{.}\) Ini berlaku di setiap titik, jadi ruang lokal terhubung.