Definisikan \(h:[a,b]\to\R\) melalui \(h(x)=f(x)-x\text{.}\) Fungsi \(h\) kontinu sebagai selisih dua fungsi kontinu. Karena \(f(a)\in[a,b]\text{,}\) berlaku \(f(a)\geq a\text{,}\) sehingga \(h(a)\geq0\text{.}\) Demikian pula, \(f(b)\leq b\text{,}\) sehingga \(h(b)\leq0\text{.}\)

Jika salah satu nilai ujung sama dengan nol, titik ujung itu sudah merupakan titik tetap. Jika tidak, \(h(a)>0>h(b)\text{.}\) Dalam kedua keadaan, nilai \(0\) berada di antara \(h(a)\) dan \(h(b)\text{.}\) Teorema Nilai Antara menghasilkan \(c\in[a,b]\) dengan \(h(c)=0\text{.}\) Maka \(f(c)-c=0\text{,}\) yakni \(f(c)=c\text{.}\)

Syarat \(f([a,b])\subseteq[a,b]\) tidak boleh dihapus. Fungsi \(g:[a,b]\to\R\) yang diberikan oleh \(g(x)=x+1\) kontinu, tetapi persamaan \(g(x)=x\) akan memberi \(1=0\text{,}\) yang mustahil. Pada contoh ini tanda ujung yang diperlukan juga gagal: \(g(b)-b=1>0\text{.}\)