Karena \(h\) bijektif, \(h(X\setminus S)=Y\setminus h(S)\text{.}\) Pembatasan \(h_S:X\setminus S\to Y\setminus h(S)\) kontinu sebagai pembatasan fungsi kontinu. Inversnya adalah pembatasan \(h^{-1}\text{,}\) sehingga juga kontinu. Jadi \(h_S\) homeomorfisme. Jika \(S\) himpunan pemutus, \(X\setminus S\) tidak terhubung. Karena keterhubungan merupakan invarian topologi, \(Y\setminus h(S)\) tidak terhubung. Maka \(h(S)\) himpunan pemutus. Untuk \(S=\{p\}\text{,}\) bijektivitas memberi \(h(S)=\{h(p)\}\text{,}\) sehingga titik pemutus dipertahankan.

Setiap \(p\in(0,1)\) merupakan titik pemutus dari \([0,1]\text{,}\) sebab \([0,1]\setminus\{p\}=[0,p)\cup(p,1]\) tidak terhubung. Sebaliknya, untuk setiap \(q\in S^1\text{,}\) ruang \(S^1\setminus\{q\}\) homeomorfik dengan \(\R\text{,}\) misalnya melalui proyeksi stereografik setelah suatu rotasi membawa \(q\) ke kutub proyeksi. Karena \(\R\) terhubung, lingkaran tidak mempunyai titik pemutus. Jika ada homeomorfisme \([0,1]\to S^1\text{,}\) citra suatu titik interior harus menjadi titik pemutus lingkaran, kontradiksi. Jadi kedua ruang tidak homeomorfik.