Himpunan \((-2,-1)\) dan \([2,4]\) adalah interval dalam \(\R\text{,}\) maka terhubung; singleton \(\{0\}\) juga terhubung. Jika suatu subhimpunan \(D\subseteq X\) memuat titik dari dua bagian berbeda, pilih bilangan real \(c\notin X\) di antara kedua titik tersebut. Himpunan \(D\cap(-\infty,c)\) dan \(D\cap(c,\infty)\) kemudian terbuka relatif dalam \(D\text{,}\) tak kosong, saling lepas, dan menutupi \(D\text{.}\) Jadi \(D\) tidak terhubung. Tidak satu pun dari ketiga bagian dapat diperbesar di dalam \(X\) sambil tetap terhubung; ketiganya tepat komponen-komponen \(X\text{.}\)

Sekarang misalkan \(C\) suatu komponen dari ruang topologi umum \(Y\text{.}\) Penutupan himpunan terhubung terhubung: jika \(\overline C\) mempunyai pemisahan, lema bahwa subhimpunan terhubung harus seluruhnya berada dalam salah satu sisi menempatkan \(C\) pada satu sisi; sisi lain yang tak kosong dan terbuka relatif akan memuat titik penutupan \(C\) tetapi tidak beririsan dengan \(C\text{,}\) sebuah kontradiksi. Jadi \(\overline C\) terhubung. Karena \(C\subseteq\overline C\) dan \(C\) maksimal di antara subhimpunan terhubung, berlaku \(\overline C=C\text{.}\) Maka \(C\) tertutup.