Andaikan \(A\) terhubung. Jika terdapat \(a,b\in A\) dan \(a<c<b\) dengan \(c\notin A\text{,}\) tetapkan \(U=A\cap(-\infty,c)\) dan \(V=A\cap(c,\infty)\text{.}\) Kedua himpunan terbuka dalam \(A\text{,}\) masing-masing memuat \(a\) dan \(b\text{,}\) saling lepas, dan gabungannya \(A\text{.}\) Ini adalah pemisahan, sebuah kontradiksi. Maka \(A\) mempunyai sifat interval.

Sebaliknya, andaikan \(A\) mempunyai sifat interval dan, untuk memperoleh kontradiksi, misalkan \(U,V\) memisahkan \(A\text{.}\) Pilih \(u\in U\) dan \(v\in V\text{;}\) setelah menukar nama jika perlu, andaikan \(u<v\text{.}\) Sifat interval memberi \([u,v]\subseteq A\text{.}\) Himpunan \(E=U\cap[u,v]\) tak kosong dan terbatas di atas. Ambil \(s=\sup E\text{.}\) Karena \(u\leq s\leq v\text{,}\) berlaku \(s\in A\text{,}\) sehingga \(s\in U\) atau \(s\in V\text{.}\)

Jika \(s\in U\text{,}\) keterbukaan relatif \(U\) memberi \(\epsilon>0\) dengan \(A\cap(s-\epsilon,s+\epsilon)\subseteq U\text{.}\) Karena \(s<v\) dalam kasus ini, suatu titik di antara \(s\) dan \(\min\{s+\epsilon,v\}\) berada dalam \(E\) dan lebih besar dari \(s\text{,}\) bertentangan dengan sifat batas atas. Jika \(s\in V\text{,}\) keterbukaan relatif \(V\) memberi interval relatif di sekitar \(s\) yang tidak beririsan dengan \(U\text{.}\) Namun definisi supremum menjamin anggota \(E\) yang lebih besar dari \(s-\epsilon\text{,}\) juga kontradiksi. Jadi pemisahan tidak ada dan \(A\) terhubung. Sifat interval ini tepat definisi himpunan interval dalam \(\R\text{,}\) dengan singleton dan interval tak terbatas termasuk.