Dalam \(A\cup B\text{,}\) hapus \(p=(-1,0)\) dan \(q=(1,0)\text{.}\) Ruang tersisa terbagi menjadi busur atas, busur bawah, dan ruas terbuka \(\{(x,0):-1<x<1\}\text{.}\) Ketiga bagian itu terhubung dan saling terpisah, sehingga terdapat tiga komponen.

Pada lingkaran \(A\text{,}\) dua titik berbeda membagi lingkaran menjadi tepat dua busur terbuka, jadi ruang tersisa mempunyai dua komponen. Homeomorfisme hipotetis akan membawa pasangan \(p,q\) ke dua titik berbeda pada \(A\) dan mempertahankan banyaknya komponen ruang tersisa. Karena \(3\ne2\text{,}\) homeomorfisme itu tidak ada.