Pilih \(p\in\bigcap_{\alpha\in I}A_\alpha\text{.}\) Andaikan \(U,V\) memisahkan \(A\text{,}\) dan tanpa mengurangi keumuman \(p\in U\text{.}\) Untuk setiap \(\alpha\text{,}\) himpunan \(A_\alpha\) terhubung dan termuat dalam \(A\text{.}\) Lema pemisahan menyatakan \(A_\alpha\subseteq U\) atau \(A_\alpha\subseteq V\text{.}\)

Pilihan kedua mustahil karena \(p\in A_\alpha\cap U\) dan \(U\cap V\cap A=\emptyset\text{.}\) Jadi semua \(A_\alpha\subseteq U\text{,}\) sehingga \(A\subseteq U\) dan \(A\cap V=\emptyset\text{.}\) Ini bertentangan dengan ketakosongan sisi \(V\) dari pemisahan. Maka \(A\) terhubung.