Karena \(C\subseteq A\subseteq U\cup V\text{,}\) kita mempunyai \(C=(C\cap U)\cup(C\cap V)\text{.}\) Kedua bagian terbuka relatif dalam \(C\text{,}\) dan \((C\cap U)\cap(C\cap V)=C\cap U\cap V=\emptyset\text{.}\)

Jika kedua bagian takkosong, mereka memisahkan \(C\text{.}\) Jadi salah satunya kosong. Jika \(C\cap U=\emptyset\text{,}\) persamaan gabungan memberi \(C=C\cap V\subseteq V\text{;}\) kasus lainnya memberi \(C\subseteq U\text{.}\) Lema terbukti.