Letakkan \(Z=f(X)\) dan pandang \(g:X\to Z\) dengan \(g(x)=f(x)\text{.}\) Fungsi \(g\) kontinu dan surjektif. Andaikan \(Z=U\cup V\) adalah pemisahan.

Prapeta \(R=g^{-1}(U)\) dan \(S=g^{-1}(V)\) terbuka karena \(g\) kontinu; keduanya takkosong karena \(g\) surjektif; \(R\cup S=X\) dan \(R\cap S=\emptyset\) menurut hukum prapeta. Jadi \(R,S\) memisahkan \(X\text{,}\) suatu kontradiksi. Maka \(f(X)=Z\) terhubung.