Ambil himpunan terhubung \(D\) dengan \(a\in D\text{.}\) Karena \(a\in C_a\cap D\text{,}\) gabungan \(C_a\cup D\) terhubung. Komponen \(C_a\) maksimal di antara subhimpunan terhubung, sehingga \(C_a\cup D=C_a\) dan \(D\subseteq C_a\text{.}\) Maka gabungan seluruh \(D\) tersebut termuat dalam \(C_a\text{.}\) Sebaliknya, \(C_a\) sendiri salah satu anggota keluarga, sehingga kesamaan berlaku.