Solusi Q.83.1.

Ambil \(x\in H(A)\text{.}\) Ada \(i\) dan \(a\in A\) dengan \(x=f_i(a)\text{.}\) Untuk setiap \(\epsilon>0\text{,}\) pilih \(b\in B\) sehingga \(d(a,b)<d(a,B)+\epsilon\text{.}\) Karena \(f_i(b)\in H(B)\text{,}\)

\begin{equation*} d(x,H(B))\le d(f_i(a),f_i(b)) \le c\,d(a,b) <c\bigl(d(a,B)+\epsilon\bigr). \end{equation*}

Biarkan \(\epsilon\downarrow0\text{.}\) Maka \(d(x,H(B))\le c\,d(a,B)\le c\,d_H(A,B)\text{.}\) Mengambil supremum terhadap \(x\in H(A)\) memberi satu sisi definisi metrik Hausdorff. Pertukaran \(A\) dan \(B\) memberi sisi lainnya, sehingga \(d_H(H(A),H(B))\le c\,d_H(A,B)\text{.}\)

Gabungan berhingga citra kompak adalah kompak dan tak kosong, jadi \(H\) memang memetakan \(\mathcal K(X)\) ke dirinya sendiri. Dengan fakta yang diberikan bahwa \(\mathcal K(X)\) lengkap, \(H\) adalah kontraksi pada ruang metrik lengkap. Teorema titik tetap Banach menghasilkan tepat satu \(K\in\mathcal K(X)\) dengan \(H(K)=K\text{.}\) Untuk setiap \(A_0\in\mathcal K(X)\text{,}\) barisan \(A_{n+1}=H(A_n)\) memenuhi \(d_H(A_n,K)\le c^n d_H(A_0,K)\) dan karena itu konvergen ke \(K\text{.}\) Himpunan \(K\) ialah atraktor unik sistem fungsi tersebut.