Solusi Q.82.1.

Fungsi jarak-ke-himpunan \(x\mapsto d(x,B)\) kontinu, sehingga terbatas pada himpunan kompak \(A\text{;}\) hal yang sama berlaku setelah \(A\) dan \(B\) dipertukarkan. Jadi kedua supremum dalam definisi bernilai hingga. Nonnegativitas jelas, dan pertukaran \(A\) dengan \(B\) tidak mengubah maksimum, jadi \(d_H(A,B)=d_H(B,A)\text{.}\) Jika \(A=B\text{,}\) semua jarak ke himpunan itu nol. Sebaliknya, jika \(d_H(A,B)=0\text{,}\) maka \(d(a,B)=0\) untuk setiap \(a\in A\text{.}\) Himpunan kompak dalam ruang metrik tertutup, sehingga \(a\in B\text{.}\) Jadi \(A\subseteq B\text{;}\) secara simetris \(B\subseteq A\text{.}\)

Ambil himpunan kompak tak kosong \(A,B,C\text{.}\) Untuk \(a\in A\text{,}\) \(b\in B\text{,}\) dan \(c\in C\text{,}\) ketaksamaan segitiga memberi \(d(a,c)\le d(a,b)+d(b,c)\text{.}\) Dengan mengambil infimum terhadap \(c\text{,}\) lalu memperkirakan \(d(b,C)\le d_H(B,C)\text{,}\) diperoleh \(d(a,C)\le d(a,b)+d_H(B,C)\text{.}\) Mengambil infimum terhadap \(b\in B\) memberi \(d(a,C)\le d(a,B)+d_H(B,C)\text{.}\) Setelah supremum terhadap \(a\in A\text{,}\)

\begin{equation*} \sup_{a\in A}d(a,C)\le d_H(A,B)+d_H(B,C). \end{equation*}

Argumen simetris memberi batas yang sama bagi \(\sup_{c\in C}d(c,A)\text{.}\) Maksimum kedua ruas kiri itu adalah \(d_H(A,C)\text{,}\) sehingga \(d_H(A,C)\le d_H(A,B)+d_H(B,C)\text{.}\) Semua aksioma metrik terpenuhi.