Solusi Q.80.1.
Untuk setiap \(y\in K\text{,}\) sifat Hausdorff memberi himpunan terbuka \(U_y,V_y\) dengan \(x\in U_y\text{,}\) \(y\in V_y\text{,}\) dan \(U_y\cap V_y=\emptyset\text{.}\) Keluarga \(\{V_y:y\in K\}\) menutupi \(K\text{.}\) Karena \(K\) kompak, ada \(y_1,\ldots,y_n\) sehingga \(K\subseteq V_{y_1}\cup\cdots\cup V_{y_n}\text{.}\)
Tetapkan
\begin{equation*}
U=U_{y_1}\cap\cdots\cap U_{y_n},\qquad
V=V_{y_1}\cup\cdots\cup V_{y_n}.
\end{equation*}
Keduanya terbuka, \(x\in U\text{,}\) dan \(K\subseteq V\text{.}\) Jika \(z\in U\cap V\text{,}\) maka \(z\in V_{y_i}\) untuk suatu \(i\text{,}\) sementara \(z\in U\subseteq U_{y_i}\text{,}\) bertentangan dengan \(U_{y_i}\cap V_{y_i}=\emptyset\text{.}\) Jadi \(U\cap V=\emptyset\text{.}\) Khususnya, setiap \(x\notin K\) mempunyai lingkungan terbuka \(U\subseteq X\setminus K\text{.}\) Maka \(X\setminus K\) terbuka dan \(K\) tertutup.