Berdasarkan kekontinuan \(f\text{,}\) himpunan \(f(X)\) kompak. Menurut Heine–Borel, \(f(X)\) tertutup dan terbatas dalam \(\R\text{.}\) Ketakosongan \(X\) menjamin bahwa \(f(X)\) tak kosong, sehingga bilangan \(a=\inf f(X)\) dan \(b=\sup f(X)\) terdefinisi sebagai bilangan real.

Untuk setiap \(k\ge1\text{,}\) sifat supremum memberi \(y_k\in f(X)\) dengan \(b-1/k<y_k\le b\text{.}\) Maka \(y_k\to b\text{.}\) Karena \(f(X)\) tertutup, \(b\in f(X)\text{.}\) Jadi ada \(x_+\in X\) dengan \(f(x_+)=b\text{.}\) Argumen yang sama bagi infimum memberi \(x_-\in X\) dengan \(f(x_-)=a\text{.}\) Definisi infimum dan supremum kemudian memberi \(f(x_-)\le f(x)\le f(x_+)\) bagi setiap \(x\in X\text{.}\)