Solusi Q.76.1.

Andaikan \(X\) kompak dan \(\mathcal F\) mempunyai sifat irisan berhingga. Jika \(\bigcap_{F\in\mathcal F}F=\emptyset\text{,}\) maka hukum De Morgan memberi

\begin{equation*} X=X\setminus\bigcap_{F\in\mathcal F}F =\bigcup_{F\in\mathcal F}(X\setminus F). \end{equation*}

Jadi komplemen anggota \(\mathcal F\) membentuk selimut buka bagi \(X\text{.}\) Kekompakan menghasilkan \(F_1,\ldots,F_n\in\mathcal F\) dengan \(X=\bigcup_{i=1}^n(X\setminus F_i)\text{.}\) Sekali lagi menurut hukum De Morgan, \(\bigcap_{i=1}^nF_i=\emptyset\text{,}\) bertentangan dengan sifat irisan berhingga.

Sebaliknya, andaikan syarat irisan tersebut berlaku dan misalkan \(\mathcal U\) suatu selimut buka bagi \(X\) tanpa subselimut berhingga. Keluarga tertutup \(\mathcal F=\{X\setminus U:U\in\mathcal U\}\) mempunyai sifat irisan berhingga: irisan berhingga yang kosong akan mengatakan bahwa himpunan-himpunan terbuka yang bersesuaian menutupi \(X\text{.}\) Namun \(\mathcal U\) menutupi \(X\text{,}\) sehingga \(\bigcap_{F\in\mathcal F}F=\emptyset\text{.}\) Ini bertentangan dengan hipotesis, maka setiap selimut buka mempunyai subselimut berhingga.