Solusi Q.32.1.
Jika \(m\gt n\text{,}\) ketaksamaan segitiga untuk metrik Hausdorff memberi
\begin{equation*}
h(S_n,S_m)\leq
\sum_{k=n}^{m-1}h(S_k,S_{k+1})
=\sum_{k=n}^{m-1}\frac{\sqrt3}{2^{k+3}}.
\end{equation*}
Jumlah berhingga ini lebih kecil daripada ekor deret geometri tak hingga:
\begin{equation*}
h(S_n,S_m)\lt
\sum_{k=n}^{\infty}\frac{\sqrt3}{2^{k+3}}
=\frac{\sqrt3}{2^{n+2}}.
\end{equation*}
Diberikan \(\varepsilon\gt0\text{,}\) pilih \(N\) sedemikian sehingga \(\sqrt3/2^{N+2}\lt\varepsilon\text{.}\) Untuk setiap \(m,n\geq N\text{,}\) andaikan tanpa kehilangan keumuman bahwa \(m\gt n\text{;}\) ketaksamaan di atas memberi \(h(S_n,S_m)\lt\varepsilon\text{.}\) Kasus \(m=n\) langsung. Jadi \((S_n)\) Cauchy dalam \(\mathcal H(\R^2)\text{.}\) Kelengkapan ruang ini kemudian menjamin adanya limit kompak, yaitu segitiga Sierpinski.