Solusi Q.31.1.
Ekspansi binomial menunjukkan setiap \(a_n\) rasional, dan limit klasik mendefinisikan bilangan Euler melalui
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e.
\end{equation*}
Jadi \((a_n)\) konvergen dalam \(\R\text{.}\) Setiap barisan konvergen adalah Cauchy: untuk \(\varepsilon\gt0\text{,}\) pilih \(N\) sehingga \(|a_n-e|\lt\varepsilon/2\) untuk \(n\geq N\text{.}\) Jika \(m,n\geq N\text{,}\) maka \(|a_n-a_m|\leq|a_n-e|+|a_m-e|\lt\varepsilon\text{.}\) Karena jarak pada \(\Q\) sama dengan jarak yang diwarisi dari \(\R\text{,}\) barisan ini juga Cauchy sebagai barisan dalam \(\Q\text{.}\)
Andaikan \((a_n)\) konvergen dalam \(\Q\) ke suatu \(q\in\Q\text{.}\) Penyertaan \(\Q\subseteq\R\) mempertahankan jarak, sehingga barisan yang sama juga akan konvergen ke \(q\) dalam \(\R\text{.}\) Keunikan limit dalam ruang metrik memaksa \(q=e\text{,}\) bertentangan dengan fakta bahwa \(e\) irasional. Maka \(\Q\) tidak memuat limit barisan Cauchy ini, sedangkan \(\R\) memuatnya.