Solusi Q.29.1.
Jelas \(h(A,B)\geq0\) dan \(h(A,B)=h(B,A)\text{.}\) Jika \(A=B\text{,}\) setiap titik mempunyai jarak nol ke himpunan yang sama, sehingga \(h(A,B)=0\text{.}\) Sebaliknya, andaikan \(h(A,B)=0\text{.}\) Untuk setiap \(a\in A\text{,}\) berlaku \(\min_{b\in B}d(a,b)=0\text{.}\) Karena \(B\) kompak, minimum itu dicapai; maka ada \(b\in B\) dengan \(d(a,b)=0\text{,}\) sehingga \(a=b\) dan \(A\subseteq B\text{.}\) Argumen yang sama dari \(d(B,A)=0\) memberi \(B\subseteq A\text{.}\) Jadi \(A=B\text{.}\)
Sekarang ambil \(A,B,C\in\mathcal H(X)\text{.}\) Untuk setiap \(a\in A\text{,}\) kekompakan \(B\) memberi \(b_a\in B\) dengan \(d(a,b_a)=\min_{b\in B}d(a,b)\text{.}\) Ketaksamaan segitiga pada \(X\) memberi
\begin{equation*}
d(a,C)\leq d(a,b_a)+d(b_a,C)
\leq d(a,B)+d(B,C)\leq d(A,B)+d(B,C).
\end{equation*}
Mengambil maksimum terhadap \(a\in A\) menghasilkan \(d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C)\text{.}\)
Dengan menukar arah diperoleh \(d(C,A)\leq d(C,B)+d(B,A)\text{.}\) Kedua ruas kanan masing-masing tidak melebihi \(h(A,B)+h(B,C)\text{.}\) Karena itu
\begin{equation*}
h(A,C)=\max\{d(A,C),d(C,A)\}\leq h(A,B)+h(B,C).
\end{equation*}
Semua aksioma metrik telah terpenuhi.