Tahap 1. Nonnegativitas dan simetri mengikuti definisi; untuk pemisahan, gunakan fakta bahwa subhimpunan kompak ruang metrik tertutup.

Tahap 2. Untuk \(a\in A\text{,}\) pilih \(b\in B\) yang mencapai jarak dari \(a\) ke \(B\text{.}\)

Tahap 3. Buktikan ketaksamaan terarah \(d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C)\text{,}\) lalu ulangi dengan arah terbalik dan ambil maksimum.