Karena \(X\) kompak dan \(f\) kontinu, teorema citra kontinu himpunan kompak menyatakan bahwa \(f(X)\) kompak dalam \(\R\text{.}\) Ketakosongan \(X\) memberi suatu \(x_0\in X\text{,}\) sehingga \(f(x_0)\in f(X)\) dan \(f(X)\) tak kosong. Menurut Teorema Heine–Borel, \(f(X)\) tertutup dan terbatas.

Karena \(f(X)\) tak kosong dan terbatas di atas, bilangan \(M=\sup f(X)\) ada. Untuk setiap \(\varepsilon\gt0\text{,}\) sifat supremum memberi \(y_\varepsilon\in f(X)\) dengan \(M-\varepsilon\lt y_\varepsilon\leq M\text{.}\) Maka setiap lingkungan \(M\) beririsan dengan \(f(X)\text{,}\) sehingga \(M\in\overline{f(X)}=f(X)\text{.}\) Ada \(x_M\in X\) dengan \(f(x_M)=M\text{,}\) dan nilai ini merupakan maksimum \(f\text{.}\)

Dengan cara yang sama, keterbatasan di bawah menghasilkan \(m=\inf f(X)\text{.}\) Sifat infimum menunjukkan \(m\in\overline{f(X)}=f(X)\text{,}\) sehingga ada \(x_m\in X\) dengan \(f(x_m)=m\text{.}\) Jadi \(f\) mencapai nilai maksimum dan minimum.